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# Corriente alterna y fasores: impedancia y análisis de circuitos en alterna

> Análisis de circuitos en corriente alterna senoidal: valor eficaz, fasores, impedancia de resistencias, bobinas y condensadores, reactancia, asociación de impedancias, ley de Ohm y Kirchhoff con números complejos, desfase y resonancia, con ejemplos resueltos.

La red eléctrica, los motores, los transformadores y los equipos de audio trabajan con **tensiones senoidales**. En un circuito con bobinas y condensadores, las ecuaciones son diferenciales, pero si todas las señales son senos de la misma frecuencia hay un atajo enorme: representar cada seno por un **número complejo**, el **fasor**. Con él, bobinas y condensadores se comportan como "resistencias complejas" (**impedancias**) y todo lo aprendido en continua sigue valiendo.

## Lo que vas a aprender

* Cómo se describe una señal senoidal: amplitud, frecuencia, fase y valor eficaz.
* Qué es un fasor y por qué convierte derivadas en productos.
* La impedancia de la resistencia, la bobina y el condensador.
* Cómo aplicar Ohm, Kirchhoff, mallas, nudos y Thevenin con impedancias.
* Qué es la resonancia de un circuito RLC.

## Fundamentos teóricos

### La señal senoidal

$$
v(t) = V_m\cos(\omega t + \varphi)
$$

| Magnitud | Símbolo | Relación |
| - | - | - |
| Amplitud (valor de pico) | $V_m$ | |
| Pulsación | $\omega$ | $\omega = 2\pi f$ (rad/s) |
| Frecuencia | $f$ | 50 Hz en Europa, 60 Hz en América |
| Fase inicial | $\varphi$ | |
| Valor eficaz | $V$ | $V = \frac{V_m}{\sqrt2}$ |

El **valor eficaz** es el de una continua que disiparía la misma potencia en una resistencia. Los 230 V de un enchufe son eficaces: el pico es $230\sqrt2 = 325$ V.

### Fasores

A la señal $V_m\cos(\omega t + \varphi)$ se le asocia el número complejo

$$
\mathbf{V} = V\,\angle\varphi = V e^{j\varphi}
$$

(en electrotecnia se usa el valor **eficaz**; algunos textos usan el de pico). La $j$ es la unidad imaginaria, para no confundirla con la corriente $i$.

La clave: derivar respecto del tiempo equivale a **multiplicar el fasor por $j\omega$**, e integrar, a dividir por $j\omega$. Las ecuaciones diferenciales se convierten en ecuaciones algebraicas con complejos. Repaso de [números complejos](https://apuntes.simulab.es/matematicas/numeros/numeros-complejos.md): para sumar se usa la forma binómica, para multiplicar y dividir, la polar.

### Impedancia

$$
\mathbf{Z} = \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}} = R + jX \quad (\Omega)
$$

| Elemento | Impedancia | Reactancia | Desfase |
| - | - | - | - |
| Resistencia | $R$ | 0 | $v$ e $i$ en fase |
| Bobina | $j\omega L$ | $X_L = \omega L$ | $i$ va 90° **retrasada** |
| Condensador | $\frac{1}{j\omega C} = -\frac{j}{\omega C}$ | $X_C = -\frac{1}{\omega C}$ | $i$ va 90° **adelantada** |

* La bobina se opone más cuanto **mayor** es la frecuencia: en continua es un cortocircuito.
* El condensador se opone más cuanto **menor** es la frecuencia: en continua es un circuito abierto.

La inversa de la impedancia es la **admitancia** $\mathbf{Y} = 1/\mathbf{Z} = G + jB$, en siemens.

### Todo lo de continua sigue valiendo

Con impedancias en lugar de resistencias:

* Serie: $\mathbf{Z} = \mathbf{Z}_1 + \mathbf{Z}_2$. Paralelo: $\frac{1}{\mathbf{Z}} = \frac{1}{\mathbf{Z}_1} + \frac{1}{\mathbf{Z}_2}$.
* Divisores de tensión y de corriente, Kirchhoff, [mallas y nudos](https://apuntes.simulab.es/electronica/analisis-circuitos/mallas-nudos.md), [Thevenin y Norton](https://apuntes.simulab.es/electronica/analisis-circuitos/thevenin-norton.md) y superposición.

Solo hay que hacer las cuentas con números complejos.

### Diagrama fasorial

Los fasores se dibujan como flechas en el plano complejo. En un circuito serie se toma la corriente como referencia (horizontal): la tensión de la resistencia va en su dirección, la de la bobina, 90° por delante, y la del condensador, 90° por detrás. La tensión total es la suma vectorial.

### Resonancia

En un circuito RLC serie, $\mathbf{Z} = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$. A la frecuencia de **resonancia** las reactancias se anulan:

$$
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \qquad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
$$

Ahí la impedancia es mínima ($Z = R$), la corriente es máxima y está en fase con la tensión. El **factor de calidad** $Q = \frac{\omega_0 L}{R}$ mide lo estrecha que es la resonancia, y la tensión en la bobina o el condensador puede ser $Q$ veces la de la fuente. Es el principio de los sintonizadores de radio, que puedes explorar en el simulador de [circuito RLC](https://apuntes.simulab.es/fisica/electricidad/circuitos-rlc.md).

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Reactancias a 50 Hz
>
> Una bobina de 100 mH y un condensador de 47 µF a 50 Hz ($\omega = 314{,}16$ rad/s).
>
> $X_L = 314{,}16\cdot0{,}1 = 31{,}4$ Ω. $X_C = \frac{1}{314{,}16\cdot47\cdot10^{-6}} = 67{,}7$ Ω.
>
> A 5 kHz serían 3142 Ω y 0,68 Ω: la bobina casi bloquea y el condensador casi cortocircuita.

> [accordion] Ejemplo 2 · Circuito RL serie
>
> $R = 40$ Ω y $X_L = 30$ Ω con 230 V, 50 Hz.
>
> $\mathbf{Z} = 40 + j30 = 50\angle36{,}87°$ Ω. $\mathbf{I} = \frac{230\angle0°}{50\angle36{,}87°} = 4{,}6\angle{-36{,}87°}$ A.
>
> La corriente va 36,87° retrasada. $V_R = 4{,}6\cdot40 = 184$ V y $V_L = 4{,}6\cdot30 = 138$ V. Suman 322 V aritméticamente, pero $\sqrt{184^2 + 138^2} = 230$ V vectorialmente.

> [accordion] Ejemplo 3 · RC en paralelo
>
> $R = 100$ Ω en paralelo con $X_C = -100$ Ω.
>
> $\mathbf{Z} = \frac{100\cdot(-j100)}{100 - j100} = \frac{-j10\,000}{141{,}4\angle{-45°}} = \frac{10\,000\angle{-90°}}{141{,}4\angle{-45°}} = 70{,}7\angle{-45°}$ Ω $= 50 - j50$ Ω.

> [accordion] Ejemplo 4 · Resonancia
>
> RLC serie con $R = 10$ Ω, $L = 10$ mH y $C = 1$ µF.
>
> $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-2}\cdot10^{-6}}} = 1592$ Hz. $Q = \frac{2\pi\cdot1592\cdot0{,}01}{10} = 10$.
>
> Con 1 V de fuente a 1592 Hz: $I = 0{,}1$ A y la tensión en el condensador es $Q\cdot1 = 10$ V, diez veces la de la fuente.

> [accordion] Ejemplo 5 · Del fasor al tiempo
>
> Si $\mathbf{I} = 4{,}6\angle{-36{,}87°}$ A eficaces a 50 Hz:
>
> $i(t) = 4{,}6\sqrt2\cos(314{,}16\,t - 36{,}87°) = 6{,}5\cos(314{,}16\,t - 0{,}6435)$ A.

## Errores frecuentes

* **Sumar módulos de tensiones.** En alterna se suman fasores: $V_R + V_L \ne V$ en módulo.
* **Mezclar valores eficaces y de pico.** Elige uno al principio y mantenlo; la potencia con eficaces no lleva el $\frac12$.
* **Olvidar el signo de la reactancia capacitiva.** $\frac{1}{j\omega C} = -\frac{j}{\omega C}$.
* **Usar grados y radianes a la vez** en $\omega t + \varphi$.
* **Aplicar fasores a señales de distinta frecuencia.** Solo valen para una frecuencia; con varias, se superpone cada una por separado.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Por qué la red es de alterna y no de continua?
>
> Porque la alterna se puede subir y bajar de tensión con **transformadores**, muy sencillos y eficientes. Transportar la energía a alta tensión reduce la corriente y, con ella, las pérdidas $I^2R$ en los cables. Hoy, para distancias muy largas o cables submarinos, se usa también continua de alta tensión (HVDC), gracias a la electrónica de potencia.

> [accordion] ¿Qué relación tiene con Laplace?
>
> El fasor es el caso particular de Laplace con $s = j\omega$ en régimen permanente. Laplace da también el **transitorio** al conectar el circuito; los fasores, solo el estado estacionario.

## Temas relacionados

> [card] [Circuito RLC](https://apuntes.simulab.es/fisica/electricidad/circuitos-rlc.md)
>
> Simula la resonancia en alterna.

> [card] [Potencia en alterna](https://apuntes.simulab.es/electronica/analisis-circuitos/potencia-alterna.md)
>
> Activa, reactiva y factor de potencia.

> [card] [Números complejos](https://apuntes.simulab.es/matematicas/numeros/numeros-complejos.md)
>
> Forma binómica y polar.


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