> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Teorema de Thevenin y Norton: equivalentes, recta de carga y Millman > Teoremas de Thevenin y Norton explicados: cómo calcular la tensión y la resistencia Thevenin y la corriente Norton, resolución por etapas, mallas, recta de carga, máxima transferencia de potencia, Millman y superposición, con ejemplos resueltos. Calcula el equivalente de un circuito etapa a etapa, compruébalo por mallas y mueve la carga sobre la recta de carga. Imagina que tienes que calcular la corriente por una resistencia de carga para tres valores distintos. Por mallas, son tres sistemas de ecuaciones. Con Thevenin, el resto del circuito se convierte una sola vez en **una pila con una resistencia**, y cada caso se resuelve con una división. Es el teorema más útil de la teoría de circuitos: simplifica cálculos, explica la recta de carga y es la base para analizar diodos y transistores. ## Lo que vas a aprender * Qué dicen los teoremas de Thevenin y Norton y cuándo se pueden aplicar. * Calcular $V_{TH}$ como tensión de vacío y $R_{TH}$ anulando las fuentes. * Resolver una red en escalera por etapas, con divisores de tensión y paralelos. * Plantear el análisis por mallas y comprobar el resultado. * Dibujar la recta de carga y encontrar el punto de funcionamiento. * Cuándo recibe una carga la máxima potencia. * Aplicar el teorema de Millman y el de superposición. ## Cómo se usa el simulador **Modo «Thevenin y Norton»** | Control | Qué hace | Rango | | - | - | - | | **V · fuente** | Tensión de la fuente | 0,5 – 30 V | | **Etapas** | Bloques de resistencia en serie y resistencia a masa | 1 – 3 | | **en serie / a masa** | Valor de cada resistencia en kΩ. Escribe ∞ (o deja vacío) para quitar la de masa | — | | **hasta A** | Resistencia en serie hasta el terminal A | — | | **R\_L · carga** | Resistencia conectada entre A y B, con el campo o el deslizador | 0,1 – 100 kΩ | * La vista **Circuito / Thevenin / Norton** cambia el dibujo por cada equivalente, con la misma carga conectada. * **Thevenin por etapas** muestra cada divisor y cada paralelo con los números del circuito. * **Comprobación por mallas** monta el sistema $[R][I] = [V]$ y lo resuelve. * La **recta de carga** y la curva de **potencia en la carga** se actualizan al mover $R_L$. El botón *R\_L = R\_TH* lleva la carga al punto de máxima potencia. **Modo «Millman y superposición»:** de 2 a 4 ramas en paralelo entre A y B, cada una con una fuente (o sin ella) y una resistencia. Se calcula $U_{AB}$ con Millman y la contribución de cada fuente sola. Los valores van en kΩ, así que las corrientes salen en mA y las potencias en mW. El circuito se guarda en el enlace de la página. ## Fundamentos teóricos ### Circuitos de continua y linealidad En un circuito de **continua** nada cambia con el tiempo: los condensadores se comportan como circuitos abiertos ($i_C = C\,du_C/dt = 0$) y las bobinas como cortocircuitos ($u_L = L\,di_L/dt = 0$). Un circuito es **lineal** si solo tiene fuentes y elementos lineales como resistencias. Los teoremas de este tema valen para circuitos lineales. Los diodos y los transistores no lo son, y por eso en electrónica se combinan estos teoremas con métodos gráficos. ### Asociaciones y divisores | | Serie | Paralelo | | - | - | - | | Resistencias | $R_{eq} = R_1 + R_2 + \dots$ | $\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dots$ | Dos resistencias en paralelo se escriben $R_1 \parallel R_2 = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$: **producto entre suma**. Las dos herramientas que se usan sin parar son los divisores: $$ \text{Divisor de tensión:}\quad U_{R_1} = U\,\frac{R_1}{R_1 + R_2} \qquad\qquad \text{Divisor de corriente:}\quad I_{R_1} = I\,\frac{R_2}{R_1 + R_2} $$ En el divisor de tensión cada resistencia se queda con una parte proporcional a su valor. En el de corriente, por cada rama pasa más corriente cuanto **menor** es su resistencia (en la fórmula aparece la de la **otra** rama). ### Teorema de Thevenin Cualquier circuito lineal, visto desde dos terminales A y B, se puede sustituir por **una fuente de tensión $V_{TH}$ en serie con una resistencia $R_{TH}$**. * **$V_{TH}$** es la **tensión de vacío**: la que hay entre A y B sin nada conectado. * **$R_{TH}$** se calcula de dos formas: 1. **Anulando las fuentes independientes** y mirando la resistencia entre A y B. Anular una fuente de tensión es cambiarla por un **cortocircuito**; anular una de corriente, por un **circuito abierto**. 2. Como $R_{TH} = V_{AB,vacío} / I_{AB,cc}$: tensión de vacío entre **corriente de cortocircuito** (uniendo A y B con un cable). Con el equivalente, la corriente por cualquier carga sale de una sola división: $$ i_L = \frac{V_{TH}}{R_{TH} + R_L} $$ ### Teorema de Norton El mismo circuito se puede sustituir también por **una fuente de corriente $I_{NO}$ en paralelo con $R_{NO}$**: $$ I_{NO} = I_{AB,cc} = \frac{V_{TH}}{R_{TH}} \qquad R_{NO} = R_{TH} $$ Thevenin y Norton son la misma cosa vista de dos formas: es la equivalencia entre una fuente real de tensión y una fuente real de corriente. ### Resolver por etapas En una red en escalera, en la que cada bloque es una resistencia en serie y otra a masa, Thevenin se aplica **de izquierda a derecha**. Cada bloque con su fuente se convierte en un Thevenin nuevo, que hace de fuente para el siguiente: $$ V_{TH_k} = V_{TH_{k-1}}\,\frac{R_{p}}{(R_{TH_{k-1}} + R_s) + R_p} \qquad R_{TH_k} = (R_{TH_{k-1}} + R_s) \parallel R_p $$ Una resistencia en serie al final no cambia $V_{TH}$, porque en vacío no circula corriente por ella, pero sí se suma a $R_{TH}$. ### Análisis por mallas Se asigna a cada malla una corriente ficticia y se aplica la 2.ª ley de Kirchhoff. Queda un sistema $[R]\,[I] = [V]$ que se puede montar a ojo: * **Diagonal** $R_{kk}$: suma de todas las resistencias de la malla $k$. * **Fuera de la diagonal** $R_{jk}$: **menos** la resistencia que comparten las mallas $j$ y $k$. * **Término independiente:** suma de las fuentes de la malla, positivas si empujan en el sentido de su corriente. La matriz es simétrica. El método siempre funciona, pero hay que resolver un sistema entero cada vez que cambia un componente. ### Recta de carga y punto de funcionamiento Todo circuito lineal visto desde dos terminales cumple $u = V_{TH} - R_{TH}\,i$: los pares $(u, i)$ que puede dar forman una recta, la **recta de carga**. Se dibuja con dos puntos: * **En vacío** ($i = 0$): $u = V_{TH}$. * **En cortocircuito** ($u = 0$): $i = V_{TH}/R_{TH} = I_{NO}$. Al conectar un dipolo, el **punto de funcionamiento** es el corte de la recta con la curva característica del dipolo. Para una resistencia es la recta $i = u/R_L$; para un diodo, una curva. Así se resuelven gráficamente los circuitos no lineales. ### Máxima transferencia de potencia La potencia en la carga es $$ P_L = i_L^2\,R_L = \frac{V_{TH}^2\,R_L}{(R_{TH} + R_L)^2} $$ Derivando respecto a $R_L$ e igualando a cero, es máxima cuando **$R_L = R_{TH}$**: $$ P_{L,\text{máx}} = \frac{V_{TH}^2}{4\,R_{TH}} $$ En ese punto la carga tiene la mitad de $V_{TH}$, y en $R_{TH}$ se pierde la misma potencia que recibe la carga: el rendimiento es del 50 %. ### Teorema de Millman Si entre dos nudos hay varias ramas en paralelo, cada una con una fuente $U_k$ en serie con $R_k$ (una rama sin fuente tiene $U_k = 0$): $$ U_{AB} = \frac{\dfrac{U_1}{R_1} + \dfrac{U_2}{R_2} + \dots + \dfrac{U_n}{R_n}}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dots + \dfrac{1}{R_n}} $$ Es una media ponderada de las tensiones en la que pesa más la rama con **menos** resistencia. Sale de pasar cada rama a Norton ($U_k/R_k$ en paralelo con $R_k$) y sumar. ### Superposición En un circuito lineal con varias fuentes, la respuesta de cualquier elemento es la **suma** de las respuestas a cada fuente actuando **sola**, con las demás anuladas (las de tensión en cortocircuito, las de corriente en abierto). No vale para la **potencia**, porque es cuadrática. ## Ejemplos resueltos Fuente de 5 V, 4 kΩ en serie y 4 kΩ a masa; después 10 kΩ en serie y 12 kΩ a masa; y 2 kΩ hasta A. Calcula la corriente por $R_L$ = 1 kΩ, 4,7 kΩ y 22 kΩ. **Etapa 1:** $V_{TH_1} = 5 \cdot \dfrac{4}{4+4} = 2{,}5$ V y $R_{TH_1} = 4 \parallel 4 = 2$ kΩ. **Etapa 2:** en serie quedan $2 + 10 = 12$ kΩ. $V_{TH_2} = 2{,}5 \cdot \dfrac{12}{12+12} = 1{,}25$ V y $R_{TH_2} = 12 \parallel 12 = 6$ kΩ. **Hasta A:** $V_{TH} = 1{,}25$ V (en vacío no cae tensión en los 2 kΩ) y $R_{TH} = 6 + 2 = 8$ kΩ. $i = \frac{1{,}25}{8 + R_L}\ \text{mA}$ | $R_L$ | $i$ | | - | - | | 1 kΩ | 0,139 mA | | 4,7 kΩ | 0,098 mA | | 22 kΩ | 0,042 mA | Con $R_L$ = 1 kΩ hay tres mallas. La 1 tiene 4 + 4 kΩ; la 2, 4 + 10 + 12 kΩ; la 3, 12 + 2 + 1 kΩ. Comparten 4 kΩ (1-2) y 12 kΩ (2-3): $\begin{pmatrix} 8 & -4 & 0 \\ -4 & 26 & -12 \\ 0 & -12 & 15 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ Resolviendo, $I_1 = 0{,}712$ mA, $I_2 = 0{,}174$ mA e $I_3 = 0{,}139$ mA. La corriente de la carga es $I_3$, la misma que con Thevenin. Pero para $R_L$ = 4,7 kΩ hay que volver a resolver el sistema. Del ejemplo 1: $R_{NO} = R_{TH} = 8$ kΩ e $I_{NO} = \dfrac{1{,}25}{8} = 0{,}156$ mA. **Comprobación:** con Norton, la corriente por $R_L$ = 1 kΩ sale de un divisor de corriente: $i = 0{,}156 \cdot \dfrac{8}{8 + 1} = 0{,}139$ mA. ✓ ¿Qué carga recibe la máxima potencia en el circuito del ejemplo 1, y cuánta? $R_L = R_{TH} = 8$ kΩ. Entonces $i = 1{,}25/16 = 0{,}078$ mA, $u = 0{,}625$ V (la mitad de $V_{TH}$) y $P_{\text{máx}} = \frac{1{,}25^2}{4 \cdot 8} = 0{,}0488\ \text{mW}$ Con 1 kΩ la carga recibe 0,0193 mW, y con 22 kΩ, 0,0382 mW: las dos menos. Entre A y B hay tres ramas: 5 V con 4 kΩ, 4 kΩ sola y 5 V con 10 kΩ. $U_{AB} = \frac{\dfrac{5}{4} + \dfrac{0}{4} + \dfrac{5}{10}}{\dfrac14 + \dfrac14 + \dfrac1{10}} = \frac{1{,}75}{0{,}6} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92\ \text{V}$ **Por superposición:** con solo la primera fuente, $U = 1{,}25/0{,}6 = 2{,}083$ V; con solo la tercera, $0{,}5/0{,}6 = 0{,}833$ V. La suma da 2,917 V. ✓ ## Experimenta con el simulador Con el circuito por defecto, prueba $R_L$ = 1; 4,7 y 22 kΩ. ¿Cambian $V_{TH}$ y $R_{TH}$? ¿Y la matriz de mallas? Escribe ∞ en la resistencia a masa de la etapa 1. ¿Cómo cambian las etapas? ¿Y el número de mallas? Mueve $R_L$ con el deslizador y mira la curva de potencia. Pulsa *R\_L = R\_TH*: ¿cuánto vale la tensión en la carga respecto a $V_{TH}$? Cambia $R_L$ y fíjate en que la recta de carga no se mueve: solo gira la característica de la resistencia. ¿Qué cambia la recta? En el modo Millman, pon la tercera fuente a −5 V. ¿Cuánto vale ahora $U_{AB}$? Compruébalo sumando las contribuciones. ## Errores frecuentes * **Calcular $V_{TH}$ con la carga conectada.** Es la tensión **de vacío**: hay que quitar la carga. * **Anular mal las fuentes.** Una fuente de tensión anulada es un **cortocircuito**, no un abierto; una de corriente, un **abierto**. * **Olvidar la resistencia en serie de la etapa anterior.** En el Thevenin por etapas, la resistencia en serie de cada bloque es la $R_{TH}$ anterior más la nueva. * **Usar la resistencia propia en el divisor de corriente.** Para dos ramas, $I_{R_1} = I\,R_2/(R_1 + R_2)$: va la de la otra rama. * **Aplicar superposición a la potencia.** Se suman tensiones y corrientes, y después se calcula la potencia. * **Olvidar la rama sin fuente en el denominador de Millman.** Arriba aporta 0, pero abajo suma $1/R$. ## Limitaciones Los teoremas de Thevenin y Norton solo valen para la parte **lineal** del circuito. Si hay diodos o transistores, se aplica el teorema a todo lo demás y el elemento no lineal se resuelve con la recta de carga o con un modelo linealizado. Si hay **fuentes dependientes** (por ejemplo, en el modelo de un transistor), $R_{TH}$ no se puede calcular anulando todas las fuentes: hay que usar $V_{vacío}/I_{cc}$ o conectar una fuente de prueba. En alterna los teoremas siguen valiendo con **impedancias** complejas, y la máxima potencia se alcanza cuando la carga es la conjugada de $Z_{TH}$. ## Un poco de historia **Léon Charles Thévenin**, ingeniero de telégrafos francés, publicó su teorema en 1883, aunque **Hermann von Helmholtz** había llegado a un resultado equivalente en 1853. El equivalente con fuente de corriente lo publicaron en 1926, por separado, **Edward Lawry Norton** en los laboratorios Bell y **Hans Ferdinand Mayer** en Siemens. El teorema de Millman es de **Jacob Millman** (1940), conocido por sus libros de electrónica. ## Preguntas frecuentes Dan el mismo resultado. Thevenin es más cómodo si la carga va en serie con otras resistencias; Norton, si hay elementos en paralelo con la carga, porque las corrientes se suman directamente. Porque anularla es hacer que su tensión valga cero, y un elemento con tensión cero sea cual sea la corriente es justo un cable. Una fuente de corriente anulada da corriente cero con cualquier tensión: un circuito abierto. Sí, en señales débiles: antenas, amplificadores de audio, líneas de comunicación. En distribución eléctrica no, porque con un rendimiento del 50 % se perdería la mitad de la energía; allí interesa $R_L \gg R_{TH}$. Una pila real es un Thevenin: su fuerza electromotriz es $V_{TH}$ y su resistencia interna, $R_{TH}$. Por eso su tensión baja al pedirle más corriente. En continua, una vez terminado el transitorio, los condensadores son circuitos abiertos y se quitan. Durante el transitorio, la constante de tiempo es $\tau = R_{TH}\,C$, con la $R_{TH}$ que ve el condensador. ## Temas relacionados El bloque básico con el que se construye cada etapa. Recta de carga y punto de funcionamiento con un elemento no lineal. Tensión, corriente y resistencia en un circuito sencillo. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.