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# Filtros y diagramas de Bode: paso bajo, paso alto, paso banda y frecuencia de corte

> Filtros analógicos explicados: función de transferencia H(jω), filtro paso bajo y paso alto RC, frecuencia de corte a −3 dB, pendiente de 20 dB por década, diagrama de Bode de módulo y fase, filtros de segundo orden, paso banda, banda eliminada, factor de calidad y filtros activos, con ejemplos resueltos.

Un **filtro** deja pasar unas frecuencias y atenúa otras: elimina el zumbido de 50 Hz de un micrófono, separa graves y agudos en un altavoz, limpia la señal de un sensor antes de digitalizarla o sintoniza una emisora. Para describir lo que hace un filtro a cada frecuencia se usa su **respuesta en frecuencia**, y para dibujarla, el **diagrama de Bode**: módulo en decibelios y fase frente a la frecuencia en escala logarítmica.

## Lo que vas a aprender

* Qué es la función de transferencia $H(j\omega)$ y cómo se obtiene.
* Los filtros RC paso bajo y paso alto, y su frecuencia de corte.
* Cómo dibujar un diagrama de Bode con asíntotas.
* Qué significan −3 dB y 20 dB por década.
* Los filtros de segundo orden, paso banda y banda eliminada.
* Por qué se usan filtros activos.

## Fundamentos teóricos

### Función de transferencia

Con [fasores](https://apuntes.simulab.es/electronica/analisis-circuitos/corriente-alterna.md), la relación entre la salida y la entrada a cada frecuencia es

$$
H(j\omega) = \frac{\mathbf{V}_o}{\mathbf{V}_i}
$$

Su **módulo** $|H|$ es la ganancia (cuánto se multiplica la amplitud) y su **argumento**, el desfase. En decibelios:

$$
|H|_{\text{dB}} = 20\log_{10}|H|
$$

| $\lvert H\rvert$ | 1 | 0,707 | 0,5 | 0,1 | 0,01 |
| - | - | - | - | - | - |
| dB | 0 | −3 | −6 | −20 | −40 |

### Paso bajo RC

$R$ en serie y $C$ a masa, con la salida en el condensador. Es un [divisor de tensión](https://apuntes.simulab.es/electronica/componentes/divisor-tension.md) con impedancias:

$$
H(j\omega) = \frac{1/(j\omega C)}{R + 1/(j\omega C)} = \frac{1}{1 + j\omega RC} = \frac{1}{1 + j\,\omega/\omega_c}
$$

$$
\omega_c = \frac{1}{RC} \qquad f_c = \frac{1}{2\pi RC}
$$

* Para $f \ll f_c$: $|H| \approx 1$ (0 dB). Pasa.
* En $f = f_c$: $|H| = \frac{1}{\sqrt2}$, es decir, **−3 dB**, y la fase es −45°. La potencia de salida es la mitad.
* Para $f \gg f_c$: $|H| \approx \frac{f_c}{f}$. Cae **20 dB por década** (6 dB por octava), y la fase tiende a −90°.

### Paso alto RC

Intercambiando $R$ y $C$ (salida en la resistencia):

$$
H(j\omega) = \frac{j\omega RC}{1 + j\omega RC}
$$

Misma $f_c$; atenúa por debajo (sube 20 dB/década hasta $f_c$) y deja pasar por encima. La fase va de +90° a 0°. Es lo que hace un condensador de acoplo en un amplificador: bloquea la continua.

### Diagrama de Bode por asíntotas

Se aproxima cada factor por rectas:

| Factor | Módulo | Fase |
| - | - | - |
| Constante $K$ | Recta horizontal a $20\log K$ | 0° (o 180° si $K < 0$) |
| Polo en $\omega_c$: $\frac{1}{1 + j\omega/\omega_c}$ | 0 dB hasta $\omega_c$, luego −20 dB/déc | De 0° a −90°; −45° en $\omega_c$ |
| Cero en $\omega_c$: $1 + j\omega/\omega_c$ | 0 dB hasta $\omega_c$, luego +20 dB/déc | De 0° a +90° |
| Integrador $\frac{1}{j\omega}$ | −20 dB/déc siempre, 0 dB en $\omega = 1$ | −90° |

Como el módulo en dB y la fase de un producto son **sumas**, el diagrama de un circuito complicado se obtiene sumando las rectas de cada factor. El error máximo de la asíntota de un polo simple es de 3 dB, justo en $\omega_c$.

### Segundo orden

$$
H(s) = \frac{\omega_0^2}{s^2 + \frac{\omega_0}{Q}s + \omega_0^2}
$$

con $s = j\omega$. Cae **40 dB por década** a partir de $\omega_0$. El **factor de calidad** $Q$ decide la forma cerca de $\omega_0$:

| $Q$ | Respuesta |
| - | - |
| 0,5 | Dos polos RC iguales: caída suave |
| 0,707 | **Butterworth**: lo más plano posible sin pico |
| $> 0{,}707$ | Pico de resonancia de altura $\approx Q$ en $\omega_0$ |

Un RLC serie con salida en el condensador es un paso bajo de segundo orden, con $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ y $Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$.

### Paso banda y banda eliminada

* **Paso banda:** deja pasar alrededor de $f_0$. Su ancho de banda a −3 dB es $\Delta f = \frac{f_0}{Q}$. El RLC serie con salida en la resistencia es uno.
* **Banda eliminada** (*notch*): elimina una frecuencia concreta, por ejemplo los 50 Hz de la red.

### Filtros pasivos y activos

| | Pasivos (R, L, C) | Activos (con [operacionales](https://apuntes.simulab.es/electronica/analogica/amplificador-operacional.md)) |
| - | - | - |
| Alimentación | No necesitan | Sí |
| Ganancia | ≤ 1 | Puede ser mayor que 1 |
| Bobinas | A menudo hacen falta | No: solo R y C |
| Carga | La salida depende de lo que se conecte | Salida de baja impedancia |
| Frecuencias | Hasta GHz | Limitados por el operacional |

La estructura activa más usada es la **Sallen-Key**, que da un segundo orden con un operacional, dos resistencias y dos condensadores.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Frecuencia de corte
>
> Paso bajo con $R = 1{,}6$ kΩ y $C = 100$ nF.
>
> $f_c = \frac{1}{2\pi\cdot1600\cdot10^{-7}} = 995$ Hz ≈ 1 kHz.
>
> A 10 kHz: $|H| = \frac{1}{\sqrt{1 + 10^2}} = 0{,}0995$, es decir, −20 dB. A 100 kHz, −40 dB.

> [accordion] Ejemplo 2 · Diseñar un filtro antialiasing
>
> Se va a muestrear a 10 kHz y se quiere un paso bajo de primer orden con $f_c = 2$ kHz. Con $C = 10$ nF:
>
> $R = \frac{1}{2\pi\cdot2000\cdot10^{-8}} = 7{,}96$ kΩ, se elige 8,2 kΩ ($f_c = 1{,}94$ kHz).
>
> A 5 kHz (la mitad de la frecuencia de muestreo) atenúa solo $20\log\sqrt{1 + 2{,}58^2} = 8{,}8$ dB. Con un primer orden no basta: hacen falta filtros de orden mayor. Lo explica el tema de [muestreo](https://apuntes.simulab.es/electronica/senales/muestreo.md).

> [accordion] Ejemplo 3 · Bode de un amplificador con dos polos
>
> $H(j\omega) = \frac{100}{(1 + j f/100)(1 + j f/10^4)}$, con $f$ en Hz.
>
> Módulo: 40 dB hasta 100 Hz; −20 dB/déc entre 100 Hz y 10 kHz (llega a 0 dB en 10 kHz); −40 dB/déc a partir de ahí.
>
> Fase: −45° en 100 Hz, unos −90° hacia 1 kHz, −135° en 10 kHz y −180° muy por encima.

> [accordion] Ejemplo 4 · Paso alto para quitar la continua
>
> Un condensador de 10 µF en serie con una entrada de 10 kΩ. $f_c = \frac{1}{2\pi\cdot10^4\cdot10^{-5}} = 1{,}6$ Hz.
>
> La continua se bloquea y el audio (de 20 Hz a 20 kHz) pasa prácticamente entero: a 20 Hz se pierden solo 0,03 dB.

> [accordion] Ejemplo 5 · Paso banda RLC
>
> RLC serie con $L = 10$ mH, $C = 100$ nF y $R = 20$ Ω, salida en $R$.
>
> $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-9}}} = 5{,}03$ kHz. $Q = \frac{1}{20}\sqrt{\frac{0{,}01}{10^{-7}}} = 15{,}8$.
>
> Ancho de banda: $\Delta f = 5030/15{,}8 = 318$ Hz.

## Errores frecuentes

* **Usar $10\log$ para tensiones.** Para tensiones y corrientes es $20\log$; $10\log$ es para potencias.
* **Confundir $\omega_c$ y $f_c$.** $\omega_c = 1/RC$ en rad/s; $f_c = 1/(2\pi RC)$ en Hz.
* **Pensar que en $f_c$ el filtro ya no deja pasar nada.** En $f_c$ la amplitud es el 70,7 %; la atenuación sigue aumentando poco a poco.
* **Conectar en cascada dos filtros pasivos** y multiplicar sus funciones de transferencia. El segundo carga al primero; hace falta un *buffer* entre ellos.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Qué orden de filtro necesito?
>
> Cada orden añade 20 dB/década. Si tienes que atenuar 60 dB una década por encima del corte, necesitas tercer orden. Las familias de filtros (Butterworth, Chebyshev, Bessel, elíptico) reparten de forma distinta la planitud de la banda pasante, la rapidez de la caída y la distorsión de fase.

> [accordion] ¿Y los filtros digitales?
>
> Hacen lo mismo con las muestras de la señal y una suma de productos en un procesador. Se diseñan con la [transformada Z](https://apuntes.simulab.es/electronica/senales/transformada-z.md) y pueden conseguir pendientes y fases que serían imposibles con componentes analógicos.

## Temas relacionados

> [card] [Circuitos RC y RL](https://apuntes.simulab.es/fisica/electricidad/circuitos-rc.md)
>
> La respuesta en el tiempo del mismo circuito.

> [card] [Circuito RLC](https://apuntes.simulab.es/fisica/electricidad/circuitos-rlc.md)
>
> Resonancia y segundo orden.

> [card] [Decibelios](https://apuntes.simulab.es/electronica/componentes/decibelios.md)
>
> Convierte ganancias a dB.


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