> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Función de transferencia y estabilidad: polos, ceros y respuesta temporal > Introducción a los sistemas de control: lazo abierto y lazo cerrado, función de transferencia, diagramas de bloques, polos y ceros, estabilidad, sistemas de primer y segundo orden, respuesta al escalón, sobreoscilación, tiempo de establecimiento, error en régimen permanente y criterio de Routh, con ejemplos resueltos. El termostato de casa, el control de crucero de un coche, el piloto automático de un avión o la regulación de velocidad de un motor tienen la misma estructura: miden lo que pasa, lo comparan con lo que debería pasar y actúan para corregir la diferencia. Es la **realimentación**. Para diseñarlos se describe cada parte con su **función de transferencia**, que permite predecir si el sistema será rápido, si oscilará y, sobre todo, si será **estable**. ## Lo que vas a aprender * La diferencia entre control en lazo abierto y en lazo cerrado. * Qué es una función de transferencia y cómo se obtiene. * Cómo simplificar diagramas de bloques. * Qué dicen los polos y ceros sobre la respuesta. * Las respuestas de primer y segundo orden y sus parámetros. * El error en régimen permanente y el criterio de Routh. ## Fundamentos teóricos ### Lazo abierto y lazo cerrado * **Lazo abierto:** la acción no depende del resultado. Una tostadora con temporizador: si el pan es más grueso, sale menos tostado. * **Lazo cerrado:** se mide la salida y se compara con la **referencia**. La diferencia, el **error**, alimenta al controlador. Corrige perturbaciones y variaciones del sistema. ### Función de transferencia Con la [transformada de Laplace](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-laplace.md) y condiciones iniciales nulas: $$ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_m s^m + \cdots + b_0}{a_n s^n + \cdots + a_0} $$ Las raíces del numerador son los **ceros** y las del denominador, los **polos**. El grado del denominador es el **orden** del sistema. | Sistema físico | Ecuación | $G(s)$ | | - | - | - | | Circuito RC (tensión en C) | $RC\,\dot v + v = u$ | $\frac{1}{RCs + 1}$ | | Masa-muelle-amortiguador | $m\ddot x + c\dot x + kx = F$ | $\frac{1}{ms^2 + cs + k}$ | | Motor de continua (velocidad) | Aproximado | $\frac{K}{\tau s + 1}$ | ### Diagramas de bloques | Conexión | Equivalente | | - | - | | Serie | $G_1 G_2$ | | Paralelo | $G_1 + G_2$ | | **Realimentación negativa** | $\frac{G}{1 + G H}$ | Con $G$ en la cadena directa y $H$ en la realimentación. El producto $G H$ es la **función de lazo abierto** y $1 + GH = 0$, la **ecuación característica** del lazo cerrado. ### Polos y estabilidad Cada polo $p$ aporta a la respuesta un término $e^{pt}$: | Polo | Término | Comportamiento | | - | - | - | | Real negativo | $e^{-at}$ | Decae | | Real positivo | $e^{at}$ | Crece: **inestable** | | Complejos con parte real negativa | $e^{-\sigma t}\cos(\omega t)$ | Oscila amortiguado | | Imaginarios puros | $\cos(\omega t)$ | Oscila sin fin (marginalmente estable) | Un sistema es **estable** si y solo si **todos sus polos tienen parte real negativa** (están en el semiplano izquierdo). Cuanto más a la izquierda, más rápido. ### Primer orden $$ G(s) = \frac{K}{\tau s + 1} \qquad y(t) = K\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \text{ ante un escalón unitario} $$ * $K$: **ganancia estática** (valor final). * $\tau$: **constante de tiempo**. A $t = \tau$ llega al 63,2 %; en unas $4\tau$, al 98 % (tiempo de establecimiento al 2 %). ### Segundo orden $$ G(s) = \frac{K\,\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} $$ * $\omega_n$: **frecuencia natural**. * $\zeta$: **coeficiente de amortiguamiento**. | $\zeta$ | Polos | Respuesta al escalón | | - | - | - | | $\zeta > 1$ | Reales distintos | Sobreamortiguada: lenta, sin oscilar | | $\zeta = 1$ | Real doble | Críticamente amortiguada: la más rápida sin pasarse | | $0 < \zeta < 1$ | Complejos conjugados | Subamortiguada: se pasa y oscila | | $\zeta = 0$ | Imaginarios | Oscila sin fin | Para $0 < \zeta < 1$: $$ M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \qquad t_p = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}} \qquad t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n} $$ $M_p$ es la **sobreoscilación** (cuánto se pasa, en tanto por uno), $t_p$ el instante del primer pico y $t_s$ el **tiempo de establecimiento** al 2 %. | $\zeta$ | 0,2 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,707 | 0,8 | | - | - | - | - | - | - | - | | $M_p$ | 53 % | 25 % | 16 % | 9,5 % | 4,3 % | 1,5 % | Puedes ver estos tres comportamientos en el simulador de [amortiguador de masa](https://apuntes.simulab.es/fisica/oscilaciones/amortiguador-masa.md). ### Error en régimen permanente Con realimentación unitaria, por el **teorema del valor final**: $$ e_{ss} = \lim_{s\to0}\frac{s\,R(s)}{1 + G(s)} $$ | Tipo de $G(s)$ (polos en $s = 0$) | Error ante escalón | Error ante rampa | | - | - | - | | 0 | $\frac{1}{1 + K_p}$, con $K_p = G(0)$ | ∞ | | 1 | **0** | $\frac{1}{K_v}$ | | 2 | 0 | 0 | Un **integrador** en el lazo elimina el error ante escalones: es el papel de la acción integral del [PID](https://apuntes.simulab.es/electronica/control/pid.md). ### Criterio de Routh-Hurwitz Permite saber si un polinomio tiene raíces en el semiplano derecho **sin calcularlas**. Para $a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0$, con todos los coeficientes positivos, es estable si y solo si $$ a_2 a_1 > a_3 a_0 $$ En general se construye la tabla de Routh: el número de cambios de signo en la primera columna es el número de polos inestables. ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Lazo cerrado de primer orden > > Planta $G(s) = \frac{2}{5s + 1}$ con un controlador proporcional $K = 4$ y realimentación unitaria. > > $T(s) = \frac{8/(5s+1)}{1 + 8/(5s+1)} = \frac{8}{5s + 9} = \frac{0{,}889}{0{,}556s + 1}$. > > El lazo cerrado es **más rápido** ($\tau$ pasa de 5 s a 0,556 s), pero se queda en el 88,9 % de la referencia: error del 11,1 %, que es $\frac{1}{1 + 8}$. > [accordion] Ejemplo 2 · Parámetros de un segundo orden > > $G(s) = \frac{25}{s^2 + 4s + 25}$. $\omega_n = 5$ rad/s, $2\zeta\omega_n = 4 \Rightarrow \zeta = 0{,}4$. > > $M_p = e^{-0{,}4\pi/\sqrt{0{,}84}} = 0{,}254$: se pasa un 25 %. $t_p = \frac{\pi}{5\sqrt{0{,}84}} = 0{,}69$ s. $t_s \approx \frac{4}{2} = 2$ s. > > Polos: $-2 \pm j4{,}58$. > [accordion] Ejemplo 3 · Suspensión de un coche > > Un cuarto de coche con $m = 300$ kg, $k = 30\,000$ N/m y $c = 3000$ N·s/m. > > $\omega_n = \sqrt{k/m} = 10$ rad/s. $\zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}} = \frac{3000}{6000} = 0{,}5$. Tras un bache se pasa un 16 % y se estabiliza en unos 0,8 s. Con amortiguadores gastados ($c = 900$), $\zeta = 0{,}15$ y $M_p = 62\,\%$: el coche "flota". > [accordion] Ejemplo 4 · Diagrama de bloques > > $G_1 = \frac{1}{s}$ en serie con $G_2 = \frac{1}{s + 2}$, con realimentación unitaria. > > $GH = \frac{1}{s(s+2)}$. $T(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 1} = \frac{1}{(s+1)^2}$: críticamente amortiguado, $\zeta = 1$. > [accordion] Ejemplo 5 · Ganancia máxima con Routh > > $G(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+5)}$ con realimentación unitaria. Ecuación característica: $s^3 + 6s^2 + 5s + K = 0$. > > Estable si $6\cdot5 > 1\cdot K$, es decir, $0 < K < 30$. Con $K = 30$ el sistema oscila: las raíces son $\pm j\sqrt5$, a $\omega = 2{,}24$ rad/s. ## Errores frecuentes * **Pensar que más ganancia siempre es mejor.** Reduce el error y acelera, pero acerca los polos a la inestabilidad. * **Usar el valor final en sistemas inestables.** El teorema solo vale si $sY(s)$ tiene todos los polos en el semiplano izquierdo. * **Confundir la $G(s)$ de lazo abierto con la $T(s)$ de lazo cerrado.** La estabilidad se decide con los polos de $T$, es decir, con $1 + GH = 0$. * **Olvidar que un cero cambia la respuesta.** Las fórmulas de $M_p$ y $t_s$ son para un segundo orden sin ceros. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Qué otras herramientas de diseño hay? > > El **lugar de las raíces** dibuja cómo se mueven los polos del lazo cerrado al variar una ganancia. Los diagramas de **Bode** y **Nyquist** estudian la estabilidad desde la respuesta en frecuencia, con los márgenes de ganancia y de fase. Para sistemas con muchas entradas y salidas se usa el **espacio de estados**. > [accordion] ¿Por qué la realimentación hace al sistema robusto? > > Porque si $GH \gg 1$, $T = \frac{G}{1 + GH} \approx \frac{1}{H}$: el comportamiento depende del sensor $H$, no de la planta $G$, que puede ser poco precisa o cambiar con el tiempo. Es lo mismo que pasa con el [amplificador operacional](https://apuntes.simulab.es/electronica/analogica/amplificador-operacional.md) realimentado. ## Temas relacionados > [card] [Controlador PID](https://apuntes.simulab.es/electronica/control/pid.md) > > El controlador más usado. > [card] [Transformada de Laplace](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-laplace.md) > > La herramienta matemática. > [card] [Amortiguador de masa](https://apuntes.simulab.es/fisica/oscilaciones/amortiguador-masa.md) > > Un segundo orden real. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.