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# Convolución y sistemas LTI: respuesta al impulso y respuesta en frecuencia

> Señales y sistemas: propiedades de los sistemas (linealidad, invariancia, causalidad, estabilidad), sistemas LTI, respuesta al impulso, convolución continua y discreta paso a paso, respuesta en frecuencia y teorema de convolución, con ejemplos resueltos.

Un amplificador, un filtro, la acústica de una sala o el canal de una red wifi transforman una señal de entrada en otra de salida. Si el sistema es **lineal** e **invariante en el tiempo** (LTI), basta con saber cómo responde a un único golpe, un **impulso**, para predecir su respuesta a cualquier señal. La operación que lo hace es la **convolución**, y es la idea central de la asignatura de señales y sistemas.

## Lo que vas a aprender

* Las propiedades que puede tener un sistema: linealidad, invariancia, causalidad, memoria y estabilidad.
* Qué es la respuesta al impulso y por qué caracteriza a un sistema LTI.
* Cómo calcular una convolución discreta y una continua.
* Las propiedades de la convolución.
* La relación con la respuesta en frecuencia.

## Fundamentos teóricos

### Propiedades de un sistema

| Propiedad | Significado |
| - | - |
| **Lineal** | Si $x_1 \to y_1$ y $x_2 \to y_2$, entonces $a x_1 + b x_2 \to a y_1 + b y_2$ |
| **Invariante en el tiempo** | Si $x(t) \to y(t)$, entonces $x(t - t_0) \to y(t - t_0)$ |
| **Causal** | La salida en $t$ solo depende de la entrada hasta $t$ |
| **Sin memoria** | La salida en $t$ solo depende de la entrada en $t$ |
| **Estable (BIBO)** | Toda entrada acotada da una salida acotada |

Una resistencia es LTI y sin memoria; un circuito RC es LTI con memoria; un amplificador que se satura no es lineal; una línea cuyo retardo cambia con la temperatura no es invariante.

### Respuesta al impulso

Es la salida $h(t)$ (o $h[n]$) cuando la entrada es un impulso: la delta de Dirac $\delta(t)$ en tiempo continuo o $\delta[n]$ (un 1 en $n = 0$ y 0 en el resto) en tiempo discreto.

Cualquier señal discreta es una suma de impulsos desplazados y escalados: $x[n] = \sum_k x[k]\,\delta[n - k]$. Por linealidad e invariancia, la salida es la suma de las respuestas a cada uno.

### Convolución

$$
y[n] = (x * h)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n - k]
$$

$$
y(t) = (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t - \tau)\,d\tau
$$

**Cómo se calcula (método gráfico):**

1. Dibuja $x(\tau)$ y $h(\tau)$ en función de la variable auxiliar $\tau$.
2. **Refleja** $h$: $h(-\tau)$.
3. **Desplaza** $t$ unidades: $h(t - \tau)$.
4. **Multiplica** por $x(\tau)$ e **integra** (o suma).
5. Repite para cada $t$.

Para señales discretas finitas, la convolución es como la **multiplicación de polinomios**: si $x$ tiene $N$ muestras y $h$ tiene $M$, $y$ tiene $N + M - 1$.

### Propiedades de la convolución

| Propiedad | Expresión | Significado |
| - | - | - |
| Conmutativa | $x * h = h * x$ | |
| Asociativa | $(x * h_1) * h_2 = x * (h_1 * h_2)$ | Dos sistemas en cascada equivalen a uno con $h_1 * h_2$ |
| Distributiva | $x * (h_1 + h_2) = x * h_1 + x * h_2$ | Dos sistemas en paralelo equivalen a uno con $h_1 + h_2$ |
| Elemento neutro | $x * \delta = x$ | |
| Desplazamiento | $x * \delta(t - t_0) = x(t - t_0)$ | Un retardo es convolucionar con una delta desplazada |

### Causalidad y estabilidad desde h

* **Causal** si y solo si $h(t) = 0$ para $t < 0$.
* **Estable** si y solo si $\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|\,dt < \infty$ (o $\sum|h[n]| < \infty$).

### Teorema de convolución

$$
y = x * h \quad\Longleftrightarrow\quad Y(\omega) = X(\omega)\,H(\omega)
$$

La convolución en el tiempo es un **producto** en frecuencia. $H(\omega)$, la [transformada de Fourier](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-fourier.md) de $h(t)$, es la **respuesta en frecuencia**: dice cuánto amplifica y desfasa el sistema cada frecuencia. Por eso a un sistema LTI le entra una senoide y le sale **la misma senoide**, solo escalada y desfasada.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Convolución discreta
>
> $x[n] = \{1, 2, 3\}$ y $h[n] = \{1, 1\}$, empezando en $n = 0$.
>
> Como un producto de polinomios: $(1 + 2z + 3z^2)(1 + z) = 1 + 3z + 5z^2 + 3z^3$.
>
> $y[n] = \{1, 3, 5, 3\}$: $3 + 2 - 1 = 4$ muestras. Este $h$ suma cada muestra con la anterior.

> [accordion] Ejemplo 2 · Media móvil
>
> Un filtro de media móvil de 3 puntos tiene $h[n] = \{\frac13, \frac13, \frac13\}$.
>
> Con $x = \{3, 6, 9, 12\}$: $y = \{1, 3, 6, 9, 7, 4\}$. En la zona central da la media de 3 muestras seguidas; en los extremos, el efecto de entrar y salir. Suaviza el ruido de un sensor.

> [accordion] Ejemplo 3 · Convolución continua: RC con un escalón
>
> Un circuito RC tiene $h(t) = \frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}u(t)$. Entrada: escalón $u(t)$.
>
> Para $t > 0$: $y(t) = \int_0^t \frac{1}{\tau}e^{-(t - s)/\tau}\,ds = 1 - e^{-t/\tau}$.
>
> Es la [carga del condensador](https://apuntes.simulab.es/fisica/electricidad/circuitos-rc.md), obtenida sin plantear la ecuación diferencial.

> [accordion] Ejemplo 4 · Dos pulsos rectangulares
>
> $x(t) = h(t) = 1$ en $[0, 1]$ y 0 fuera.
>
> Al desplazar uno sobre otro, el solape crece linealmente de 0 a 1 (en $t \in [0, 1]$) y decrece de 1 a 0 (en $t \in [1, 2]$). El resultado es un **triángulo** de base $[0, 2]$ y altura 1.

> [accordion] Ejemplo 5 · ¿Lineal? ¿Invariante?
>
> * $y(t) = 3x(t - 2)$: lineal, invariante, causal, con memoria.
> * $y(t) = x(t)^2$: no lineal.
> * $y(t) = t\,x(t)$: lineal, pero no invariante (el factor depende del instante).
> * $y[n] = x[n + 1]$: no causal; necesita la muestra siguiente.

## Errores frecuentes

* **Olvidar reflejar $h$.** Sin la reflexión es una correlación, no una convolución.
* **Poner mal los límites** de la integral: dependen de dónde se solapan las dos señales para cada $t$, y cambian por tramos.
* **Contar mal la longitud** de la convolución discreta: $N + M - 1$.
* **Aplicar la convolución a sistemas no lineales.** Solo vale para sistemas LTI.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Cómo se calcula la convolución de señales largas?
>
> Con la FFT: se transforman las dos señales, se multiplican y se vuelve atrás. Para $N$ muestras cuesta $O(N\log N)$ en lugar de $O(N^2)$. Es como se aplican en tiempo real las reverberaciones de salas reales a las grabaciones (reverb por convolución).

> [accordion] ¿Dónde se usa la convolución fuera de la electrónica?
>
> En estadística, la distribución de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de sus distribuciones. En imagen, los filtros de desenfoque y de detección de bordes son convoluciones en 2D, y son la operación básica de las redes neuronales convolucionales.

## Temas relacionados

> [card] [Transformada de Fourier](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-fourier.md)
>
> El teorema de convolución.

> [card] [Transformada de Laplace](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-laplace.md)
>
> Convolución como producto en s.

> [card] [Filtros y Bode](https://apuntes.simulab.es/electronica/analogica/filtros-bode.md)
>
> La respuesta en frecuencia en la práctica.


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