> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Muestreo y teorema de Nyquist: aliasing, cuantificación y conversión ADC/DAC > Conversión analógico-digital explicada: muestreo, teorema de Nyquist-Shannon, frecuencia de Nyquist, aliasing y filtro antialiasing, cuantificación, resolución en bits, error y relación señal-ruido (6,02N + 1,76 dB), conversores ADC y DAC y reconstrucción, con ejemplos resueltos. Un micrófono da una tensión que varía de forma continua; un ordenador solo entiende números. Para pasar de una a otra hay que **muestrear** (tomar valores cada cierto tiempo) y **cuantificar** (redondear cada valor a uno de un número finito de niveles). El **teorema de Nyquist** dice cuántas muestras por segundo hacen falta para no perder información, y explica por qué en las películas las ruedas de los coches parecen girar hacia atrás. ## Lo que vas a aprender * Qué es muestrear y qué le pasa al espectro de una señal al hacerlo. * El teorema de Nyquist-Shannon y la frecuencia de Nyquist. * Qué es el aliasing y cómo se evita. * Cómo afecta el número de bits a la cuantificación y al ruido. * Cómo funcionan a grandes rasgos un ADC y un DAC. ## Fundamentos teóricos ### Muestreo Se toma el valor de la señal cada $T_s$ segundos: $$ x[n] = x(nT_s) \qquad f_s = \frac{1}{T_s} $$ $f_s$ es la **frecuencia de muestreo**. En el espectro, muestrear **copia** el espectro de la señal alrededor de cada múltiplo de $f_s$: aparecen réplicas en $\pm f_s$, $\pm 2f_s$, … ### Teorema de Nyquist-Shannon Una señal cuyo espectro no tiene componentes por encima de $f_{\max}$ se puede reconstruir **exactamente** a partir de sus muestras si $$ f_s > 2\,f_{\max} $$ La mitad de la frecuencia de muestreo, $f_N = f_s/2$, es la **frecuencia de Nyquist**: el límite de lo que se puede representar. | Aplicación | $f_s$ | Frecuencia de Nyquist | Señal útil | | - | - | - | - | | Telefonía | 8 kHz | 4 kHz | Voz hasta 3,4 kHz | | CD de audio | 44,1 kHz | 22,05 kHz | Oído hasta 20 kHz | | Audio profesional | 48 o 96 kHz | 24 o 48 kHz | | ### Aliasing Si hay componentes por encima de $f_N$, sus réplicas se **solapan** con la banda útil y aparecen como frecuencias falsas, los **alias**. Una senoide de frecuencia $f$ muestreada a $f_s$ es indistinguible de una de frecuencia $$ f_{\text{alias}} = |f - k\,f_s| \qquad \text{con } k \text{ entero tal que } f_{\text{alias}} \le \tfrac{f_s}{2} $$ Una vez muestreado, el aliasing **no se puede deshacer**. ### Filtro antialiasing Antes del ADC se pone un [filtro paso bajo](https://apuntes.simulab.es/electronica/analogica/filtros-bode.md) analógico que elimina todo lo que haya por encima de $f_N$. Como los filtros reales no cortan de golpe, se deja margen: por eso el CD usa 44,1 kHz para 20 kHz de audio, y no 40 kHz. El **sobremuestreo** (muestrear mucho más rápido de lo necesario y filtrar después en digital) permite usar filtros analógicos sencillos. ### Cuantificación Un ADC de $N$ bits divide su rango $V_{FS}$ en $2^N$ niveles. El **escalón** o LSB es $$ q = \frac{V_{FS}}{2^N} $$ El redondeo introduce un error de hasta $\pm q/2$, que se comporta como un ruido. Para una senoide que ocupa todo el rango, la **relación señal-ruido** ideal es $$ \text{SNR} \approx 6{,}02\,N + 1{,}76 \text{ dB} $$ **Cada bit añade unos 6 dB.** | Bits | Niveles | SNR ideal | Uso | | - | - | - | - | | 8 | 256 | 50 dB | Microcontroladores sencillos, vídeo | | 12 | 4096 | 74 dB | Microcontroladores, sensores | | 16 | 65 536 | 98 dB | CD | | 24 | 16,7 millones | 146 dB | Audio profesional (en la práctica, \~120 dB por el ruido analógico) | ### Conversores **ADC** (analógico-digital): | Tipo | Velocidad | Resolución | Uso | | - | - | - | - | | Flash | Muy alta (GHz) | Baja (6-8 bits) | Osciloscopios, radar | | Aproximaciones sucesivas (SAR) | Media | 8-18 bits | Microcontroladores, adquisición de datos | | Sigma-delta | Baja-media | Muy alta (16-24 bits) | Audio, básculas, instrumentación | El SAR hace una **búsqueda binaria**: compara con la mitad del rango, decide el bit más significativo y sigue con el siguiente, igual que la [bisección](https://apuntes.simulab.es/matematicas/metodos-numericos/ceros-funciones.md). **DAC** (digital-analógico): convierte cada número en una tensión (con redes de resistencias como el [sumador ponderado](https://apuntes.simulab.es/electronica/analogica/amplificador-operacional.md) o la red R-2R) y la mantiene hasta la siguiente muestra. Un **filtro de reconstrucción** paso bajo suaviza los escalones. ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Frecuencia de muestreo mínima > > Un sensor de vibraciones tiene información hasta 5 kHz. La frecuencia de muestreo debe ser mayor que 10 kHz; en la práctica, con margen para el filtro, se usan 12,8 o 25,6 kHz. > [accordion] Ejemplo 2 · Calcular un alias > > Una senoide de 7 kHz muestreada a 10 kHz. $f_N = 5$ kHz, así que hay aliasing. > > $f_{\text{alias}} = |7 - 10| = 3$ kHz. Las muestras son exactamente las de una senoide de 3 kHz. > > Una de 13 kHz también da $|13 - 10| = 3$ kHz. > [accordion] Ejemplo 3 · Las ruedas que giran al revés > > Una rueda con 5 radios gira a 4,6 vueltas por segundo y se filma a 24 fotogramas por segundo. Los radios pasan por la misma posición $5\cdot4{,}6 = 23$ veces por segundo. > > $f_{\text{alias}} = |23 - 24| = 1$: la rueda parece girar **despacio y hacia atrás**, un radio por segundo. > [accordion] Ejemplo 4 · Resolución de un ADC > > ADC de 12 bits con rango 0-3,3 V. $q = 3{,}3/4096 = 0{,}806$ mV. > > Un sensor de temperatura de 10 mV/°C se lee con resolución de $0{,}806/10 = 0{,}08$ °C. La lectura 1862 corresponde a $1862\cdot0{,}806 = 1{,}500$ V, es decir, 150 °C si el sensor empieza en 0 V a 0 °C. > [accordion] Ejemplo 5 · Bits necesarios > > Se necesita una SNR de 80 dB. $6{,}02N + 1{,}76 \ge 80 \Rightarrow N \ge 13$ bits. Se elegiría un ADC de 14 o 16 bits. > [accordion] Ejemplo 6 · Cuánto ocupa el audio > > Un CD: 44 100 muestras/s × 16 bits × 2 canales = 1,41 Mbit/s, unos 10 MB por minuto. Un MP3 de 128 kbit/s ocupa 11 veces menos, eliminando lo que el oído no percibe. ## Errores frecuentes * **Muestrear justo al doble.** El teorema pide $f_s > 2f_{\max}$, y con filtros reales hace falta bastante más. * **Pensar que el aliasing se corrige después.** Hay que filtrar **antes** de muestrear. * **Olvidar el ruido fuera de banda.** Aunque la señal útil esté por debajo de $f_N$, el ruido de alta frecuencia también se "dobla" si no se filtra. * **Confundir resolución con precisión.** Un ADC de 16 bits con mucho ruido o mala referencia de tensión puede dar solo 12 bits útiles. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Por qué 44,1 kHz y no 40 kHz? > > Por el margen para el filtro antialiasing (de 20 kHz a 22,05 kHz) y por razones históricas: se grababa en vídeo, y 44 100 encajaba con las líneas y los fotogramas de los sistemas de televisión PAL y NTSC. > [accordion] ¿Se puede muestrear por debajo de Nyquist? > > Sí, si la señal ocupa una **banda estrecha** lejos de 0 (por ejemplo, una emisora de radio). El **submuestreo** usa a propósito el aliasing para bajar la señal a frecuencias bajas. Lo que importa es que el ancho de banda, no la frecuencia máxima, sea menor que $f_s/2$. ## Temas relacionados > [card] [Transformada de Fourier](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-fourier.md) > > El espectro de la señal. > [card] [Conversor de bases](https://apuntes.simulab.es/electronica/sistemas-numeracion/conversor-bases.md) > > Binario, decimal y hexadecimal. > [card] [Transformada Z](https://apuntes.simulab.es/electronica/senales/transformada-z.md) > > Procesar las muestras. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.