> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Transformada Z y filtros digitales: FIR, IIR, polos y ceros > La transformada Z explicada: definición, región de convergencia, tabla y propiedades, ecuaciones en diferencias, función de transferencia H(z), polos, ceros y estabilidad (círculo unidad), respuesta en frecuencia, y filtros digitales FIR e IIR, con ejemplos resueltos. La transformada de Laplace convierte ecuaciones diferenciales en álgebra. La **transformada Z** hace lo mismo con las **ecuaciones en diferencias**, que son las que describen los sistemas que trabajan con muestras: filtros digitales, controladores programados en un microcontrolador o modelos económicos por periodos. Con ella se diseñan los filtros de audio, ecualizadores y canceladores de eco que llevan los móviles. ## Lo que vas a aprender * La definición de la transformada Z y su región de convergencia. * La tabla básica y la propiedad del retardo. * Cómo pasar de una ecuación en diferencias a la función de transferencia $H(z)$. * Polos, ceros y la condición de estabilidad. * Cómo obtener la respuesta en frecuencia. * La diferencia entre filtros FIR e IIR. ## Fundamentos teóricos ### Definición Para una secuencia $x[n]$: $$ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n} $$ con $z$ complejo. La **región de convergencia** (ROC) es el conjunto de $z$ donde la suma converge. Para secuencias causales es el exterior de un círculo, $|z| > r$. ### Tabla y propiedades | $x[n]$ | $X(z)$ | ROC | | - | - | - | | $\delta[n]$ | $1$ | Todo $z$ | | $u[n]$ (escalón) | $\frac{1}{1 - z^{-1}}$ | $\lvert z\rvert > 1$ | | $a^n u[n]$ | $\frac{1}{1 - a z^{-1}}$ | $\lvert z\rvert > \lvert a\rvert$ | | $n\,a^n u[n]$ | $\frac{a z^{-1}}{(1 - a z^{-1})^2}$ | $\lvert z\rvert > \lvert a\rvert$ | | Propiedad | Tiempo | Z | | - | - | - | | Linealidad | $a\,x + b\,y$ | $a\,X + b\,Y$ | | **Retardo** | $x[n - k]$ | $z^{-k}X(z)$ | | Convolución | $x * h$ | $X(z)\,H(z)$ | El **retardo** es la clave: retrasar una muestra es multiplicar por $z^{-1}$. En los diagramas de bloques, $z^{-1}$ es una celda de memoria. ### Ecuación en diferencias y función de transferencia Un sistema LTI discreto se describe con $$ y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k\,x[n-k] - \sum_{k=1}^{N} a_k\,y[n-k] $$ Transformando con la propiedad del retardo: $$ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_M z^{-M}}{1 + a_1 z^{-1} + \cdots + a_N z^{-N}} $$ ### Polos, ceros y estabilidad Los **ceros** son las raíces del numerador y los **polos**, las del denominador (escritos en potencias positivas de $z$). Un sistema causal es **estable** si y solo si $$ \text{todos los polos están dentro del círculo unidad: } |p_i| < 1 $$ Es el equivalente discreto de "polos en el semiplano izquierdo" de Laplace. Cuanto más cerca del círculo está un polo, más larga y resonante es la respuesta. ### Respuesta en frecuencia Se evalúa $H(z)$ sobre el círculo unidad, $z = e^{j\Omega}$, con $\Omega = 2\pi f/f_s$ la frecuencia normalizada: $$ H(e^{j\Omega}) \qquad \Omega \in [0, \pi] $$ $\Omega = 0$ es la continua y $\Omega = \pi$ es la frecuencia de Nyquist $f_s/2$. Geométricamente: un cero cerca del círculo unidad crea un **valle** a esa frecuencia, y un polo cerca, un **pico**. ### FIR e IIR | | FIR (respuesta finita) | IIR (respuesta infinita) | | - | - | - | | Ecuación | Solo entradas: $y[n] = \sum b_k x[n-k]$ | Usa también salidas anteriores | | Polos | Solo en $z = 0$ | En cualquier sitio | | Estabilidad | Siempre estable | Hay que comprobarla | | Fase | Puede ser **lineal** (sin distorsión de forma) | No lineal | | Coeficientes para un filtro dado | Muchos (decenas o cientos) | Pocos | | Equivalente analógico | No tiene | Butterworth, Chebyshev… digitalizados | En un FIR, los coeficientes $b_k$ **son** la respuesta al impulso: $h[n] = b_n$. ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Transformada de una secuencia > > $x[n] = 0{,}5^n u[n] = \{1;\ 0{,}5;\ 0{,}25;\ \ldots\}$. > > $X(z) = \sum_{n\ge0}(0{,}5z^{-1})^n = \frac{1}{1 - 0{,}5z^{-1}}$, una serie geométrica que converge si $|z| > 0{,}5$. > [accordion] Ejemplo 2 · Media móvil (FIR) > > $y[n] = \frac12(x[n] + x[n-1])$. $H(z) = \frac12(1 + z^{-1}) = \frac{z + 1}{2z}$. > > Cero en $z = -1$ (es decir, en $\Omega = \pi$) y polo en $z = 0$. $|H(e^{j\Omega})| = |\cos(\Omega/2)|$: vale 1 en continua y 0 en $f_s/2$. Es un **paso bajo** sencillo. > [accordion] Ejemplo 3 · Filtro IIR de primer orden > > $y[n] = 0{,}9\,y[n-1] + 0{,}1\,x[n]$ (suavizado exponencial). > > $H(z) = \frac{0{,}1}{1 - 0{,}9z^{-1}}$. Polo en $z = 0{,}9$: estable. $H(1) = \frac{0{,}1}{0{,}1} = 1$ (ganancia 1 en continua) y $H(-1) = \frac{0{,}1}{1{,}9} = 0{,}053$ en Nyquist. > > Con un solo coeficiente hace lo que un FIR haría con muchos. Es el equivalente digital de un [filtro RC](https://apuntes.simulab.es/electronica/analogica/filtros-bode.md). > [accordion] Ejemplo 4 · Respuesta al impulso de un IIR > > Con el filtro anterior y $x = \delta$: $y[0] = 0{,}1$, $y[1] = 0{,}09$, $y[2] = 0{,}081$, … $h[n] = 0{,}1\cdot0{,}9^n$. > > Nunca llega exactamente a 0: respuesta al impulso **infinita**. > [accordion] Ejemplo 5 · ¿Estable? > > $y[n] = 1{,}5\,y[n-1] - 0{,}5\,y[n-2] + x[n]$. Denominador: $z^2 - 1{,}5z + 0{,}5 = (z - 1)(z - 0{,}5)$. > > Polo en $z = 1$, **sobre** el círculo unidad: marginalmente estable. Ante un escalón, la salida crece sin límite. > [accordion] Ejemplo 6 · Eliminar los 50 Hz > > Con $f_s = 1000$ Hz, los 50 Hz están en $\Omega = 2\pi\cdot50/1000 = \pi/10$. Se ponen ceros en $e^{\pm j\pi/10}$: > > $H(z) = 1 - 2\cos(\pi/10)\,z^{-1} + z^{-2} = 1 - 1{,}902\,z^{-1} + z^{-2}$. > > Este FIR anula exactamente los 50 Hz. Añadiendo polos justo dentro del círculo, en $0{,}95\,e^{\pm j\pi/10}$, se obtiene un *notch* IIR mucho más estrecho que no afecta a las frecuencias vecinas. ## Errores frecuentes * **Confundir $z^{-1}$ con $1/z$ en la ecuación.** Es lo mismo matemáticamente, pero al buscar polos y ceros hay que escribir el cociente en potencias **positivas** de $z$. * **Olvidar la ROC.** La misma $X(z)$ puede corresponder a una secuencia causal o anticausal según la región de convergencia. * **Diseñar un IIR sin comprobar los polos.** Con coeficientes redondeados, un polo cerca del círculo puede salirse. * **Usar Ω en hercios.** Ω está en radianes por muestra: $\Omega = 2\pi f/f_s$. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Cómo se pasa un filtro analógico a digital? > > Con la **transformación bilineal**, $s = \frac{2}{T_s}\frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}$, que lleva el semiplano izquierdo de $s$ al interior del círculo unidad (conserva la estabilidad). Comprime el eje de frecuencias, así que hay que "predistorsionar" la frecuencia de corte. > [accordion] ¿Qué relación hay entre z y s? > > $z = e^{sT_s}$. El eje imaginario $s = j\omega$ se convierte en el círculo unidad, y el semiplano izquierdo, en su interior. Por eso las reglas de estabilidad se corresponden. ## Temas relacionados > [card] [Transformada de Laplace](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-laplace.md) > > El equivalente en tiempo continuo. > [card] [Convolución y sistemas LTI](https://apuntes.simulab.es/electronica/senales/convolucion.md) > > Respuesta al impulso. > [card] [Muestreo y Nyquist](https://apuntes.simulab.es/electronica/senales/muestreo.md) > > De dónde salen las muestras. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.