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# Movimiento circular: MCU y MCUA con fórmulas y ejemplos

> Movimiento circular uniforme y uniformemente acelerado: velocidad angular y lineal, periodo, frecuencia, aceleración centrípeta y tangencial, con ejemplos resueltos.

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/fisica/movimiento-circular">
  MCU y MCUA animados con los vectores de velocidad y aceleración, el periodo, la frecuencia y las vueltas.
</Card>

Las ruedas de una bicicleta, las aspas de un ventilador, un tiovivo, el tambor de una lavadora o un satélite en órbita giran alrededor de un eje. Para describirlos no basta con la velocidad en metros por segundo: hace falta medir **cuánto gira** el objeto. Aparecen así las magnitudes angulares y una aceleración muy especial, la **centrípeta**, que existe aunque la rapidez no cambie.

## Lo que vas a aprender

* Medir ángulos en radianes y pasar de rpm a rad/s.
* Relacionar velocidad angular y velocidad lineal: $v = \omega R$.
* Calcular el periodo, la frecuencia y el número de vueltas.
* Entender por qué en un MCU hay aceleración aunque la rapidez sea constante.
* Resolver problemas de MCUA: arranques y frenados de motores y ruedas.

## Cómo se usa el simulador

| Control | Qué hace | Rango |
| - | - | - |
| **Movimiento** | Uniforme (MCU) o acelerado (MCUA) | — |
| **r · radio** | Radio de la circunferencia | 0,2 – 5 m |
| **ω · velocidad angular** | Velocidad angular (inicial, en el MCUA) | 0 – 6 rad/s |
| **α · aceleración angular** | Solo en el MCUA: cuánto cambia ω cada segundo | — |

* Sobre la partícula se dibujan la **velocidad** $\vec v$, siempre tangente, y la **aceleración centrípeta** $\vec a_c$, hacia el centro; en el MCUA aparece también la **tangencial**.
* La gráfica de la derecha muestra el **ángulo girado φ(t)**: una recta en el MCU y una parábola en el MCUA.
* El panel de datos da $\omega$ en rad/s y en rpm, el periodo $T$, la frecuencia $f$, $v = \omega r$, $a_c = \omega^2 r$, el ángulo $\varphi$ y las vueltas dadas.
* Con **❚❚ Pausar** congelas el movimiento y con **↺ t = 0** vuelves al principio.

## Fundamentos teóricos

### Magnitudes angulares

La posición de un punto que gira se describe con el **ángulo** $\theta$ que forma su radio con una dirección fija. En física se mide en **radianes**: un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Una vuelta completa son $2\pi$ rad.

$$
s = \theta\,R
$$

donde $s$ es la longitud del arco recorrido. Esta relación solo vale con $\theta$ en radianes.

La **velocidad angular** es lo que gira el radio por unidad de tiempo, y la **aceleración angular**, cómo cambia esa velocidad:

$$
\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} \;(\text{rad/s}) \qquad \alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} \;(\text{rad/s}^2)
$$

Para pasar de revoluciones por minuto a rad/s: $\omega = \text{rpm} \cdot \dfrac{2\pi}{60}$.

### Relación entre magnitudes lineales y angulares

Todos los puntos de un disco rígido giran con la misma $\omega$, pero los que están más lejos del eje recorren más camino:

$$
v = \omega\,R \qquad a_t = \alpha\,R
$$

### Movimiento circular uniforme (MCU)

La velocidad angular es constante:

$$
\theta = \theta_0 + \omega\,t
$$

Como el movimiento se repite, se definen:

$$
T = \frac{2\pi}{\omega} \;(\text{s}) \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} \;(\text{Hz})
$$

El **periodo** $T$ es el tiempo de una vuelta; la **frecuencia** $f$, las vueltas por segundo.

### La aceleración centrípeta

En un MCU la **rapidez** no cambia, pero la **dirección** de la velocidad sí: siempre es tangente a la circunferencia. Un cambio de dirección del vector velocidad es una aceleración. Apunta hacia el centro y vale:

$$
a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R
$$

Sin ella, el objeto seguiría en línea recta (primera ley de Newton). En un coche que toma una curva la proporciona el rozamiento de las ruedas; en un satélite, la gravedad; en una piedra atada a una cuerda, la tensión.

### Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

Con aceleración angular constante, las ecuaciones son las del MRUA cambiando $x \to \theta$, $v \to \omega$, $a \to \alpha$:

$$
\omega = \omega_0 + \alpha\,t \qquad \theta = \theta_0 + \omega_0\,t + \tfrac12\alpha\,t^2 \qquad \omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\,\Delta\theta
$$

Ahora la aceleración tiene dos componentes perpendiculares:

| Componente | Dirección | Valor | Qué cambia |
| - | - | - | - |
| Tangencial $a_t$ | Tangente a la trayectoria | $\alpha R$ | El módulo de la velocidad |
| Centrípeta $a_c$ | Hacia el centro | $\omega^2 R$ | La dirección de la velocidad |

$$
a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}
$$

La tangencial es constante, pero la centrípeta crece con $\omega^2$: el vector aceleración total se va inclinando hacia el centro a medida que el objeto gira más rápido.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · La rueda de un coche" defaultOpen>
    Una rueda de 30 cm de radio gira a 600 rpm. Calcula $\omega$, el periodo, la frecuencia, la velocidad del borde y su aceleración centrípeta.

    **Velocidad angular:** $\omega = 600 \cdot \dfrac{2\pi}{60} = 20\pi = 62{,}8$ rad/s.

    **Periodo y frecuencia:** $f = 600/60 = 10$ Hz; $T = 1/10 = 0{,}1$ s.

    **Velocidad lineal:** $v = 62{,}8 \cdot 0{,}30 = 18{,}8$ m/s (unos 68 km/h).

    **Aceleración centrípeta:** $a_c = 18{,}8^2 / 0{,}30 = 1184$ m/s², ¡unas 120 veces $g$!
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Arranque de un motor (MCUA)">
    Un motor pasa del reposo a 300 rpm en 5 s con aceleración angular constante. ¿Cuántas vueltas da en ese tiempo? ¿Qué aceleración tiene un punto a 20 cm del eje al final?

    **Velocidad final:** $\omega = 300 \cdot 2\pi/60 = 10\pi = 31{,}4$ rad/s.

    **Aceleración angular:** $\alpha = 31{,}4 / 5 = 6{,}28$ rad/s².

    **Ángulo:** $\theta = \tfrac12 \cdot 6{,}28 \cdot 5^2 = 78{,}5$ rad $= 78{,}5 / 2\pi = 12{,}5$ vueltas.

    **Aceleraciones a 0,20 m:** $a_t = 6{,}28 \cdot 0{,}2 = 1{,}26$ m/s²; $a_c = 31{,}4^2 \cdot 0{,}2 = 197$ m/s². Al final domina con mucho la centrípeta.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · La Tierra girando">
    ¿Con qué velocidad se mueve una persona en el ecuador por la rotación terrestre? ($R = 6{,}37 \cdot 10^6$ m, $T = 24$ h.)

    $\omega = \dfrac{2\pi}{86\,400} = 7{,}27 \cdot 10^{-5}$ rad/s.

    $v = \omega R = 7{,}27 \cdot 10^{-5} \cdot 6{,}37 \cdot 10^6 = 463$ m/s, unos 1670 km/h.

    $a_c = \omega^2 R = 0{,}034$ m/s²: apenas un 0,3 % de $g$, por eso no lo notamos.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="Comprueba los datos">
    Con $r = 2$ m y $\omega = 1{,}5$ rad/s, calcula a mano $T$, $f$, $v$ y $a_c$ y compáralos con el panel (deben salir 4,19 s; 0,239 Hz; 3 m/s y 4,5 m/s²).
  </Step>

  <Step title="Mismo ω, distinto radio">
    Deja fija la velocidad angular y duplica el radio. ¿Qué pasa con el periodo? ¿Y con la velocidad lineal y la aceleración centrípeta?
  </Step>

  <Step title="Los vectores en el MCU">
    En MCU, observa la flecha de la velocidad: ¿cambia de tamaño? ¿Y de dirección? ¿Hacia dónde apunta la aceleración?
  </Step>

  <Step title="Arranque y frenado">
    Pasa a MCUA con $\omega_0 = 0$. Mira cómo la aceleración total se inclina hacia el centro según aumenta la velocidad. Después pon $\alpha$ negativa con $\omega_0 > 0$: ¿cuántas vueltas da antes de pararse?
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Usar grados o vueltas en $v = \omega R$** o en $s = \theta R$. Las fórmulas solo valen en radianes.
* **Decir que en el MCU no hay aceleración.** Hay aceleración centrípeta; lo que no hay es aceleración tangencial.
* **Hablar de "fuerza centrífuga"** como si empujara el objeto hacia fuera. Visto desde fuera, lo que hay es una fuerza hacia el centro; lo que sale "despedido" sigue en línea recta al desaparecer esa fuerza.
* **Confundir rpm con rad/s** o con Hz: 60 rpm = 1 Hz = $2\pi$ rad/s.

## Preguntas frecuentes

<AccordionGroup>
  <Accordion title="¿Por qué se usan radianes?">
    Porque con radianes la relación entre el arco y el ángulo es simplemente $s = \theta R$, sin factores extra. Todas las fórmulas que relacionan magnitudes lineales y angulares lo dan por supuesto.
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Todos los puntos de una rueda van igual de rápido?">
    Tienen la misma velocidad angular, pero la velocidad lineal crece con la distancia al eje. El centro está quieto (respecto al eje) y el borde es el que más corre.
  </Accordion>

  <Accordion title="Si suelto una piedra que gira atada a una cuerda, ¿hacia dónde sale?">
    En la dirección de la velocidad en ese instante: tangente a la circunferencia, no hacia fuera en línea con el radio.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Simuladores relacionados

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Gravitación y órbitas" icon="earth-europe" href="/fisica/gravitacion/gravitacion">
    La gravedad como fuerza centrípeta de un satélite.
  </Card>

  <Card title="Movimiento armónico simple" icon="wave-square" href="/fisica/oscilaciones/movimiento-armonico">
    La proyección de un MCU es un MAS.
  </Card>

  <Card title="MRU y MRUA" icon="arrow-right" href="/fisica/cinematica/movimiento-rectilineo">
    Las ecuaciones equivalentes en línea recta.
  </Card>
</CardGroup>


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