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# MRU y MRUA: fórmulas, gráficas y problemas de encuentro

> Movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado explicados: ecuaciones, gráficas x(t) y v(t), frenado y problemas de encuentro de dos móviles resueltos.

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/fisica/movimiento-rectilineo">
  Dos móviles en una carretera con posición, velocidad y aceleración propias: mira sus gráficas y cuándo y dónde se encuentran.
</Card>

Un coche que circula por la autopista a velocidad constante, un tren que arranca o una moto que frena ante un semáforo se mueven en línea recta. Son los movimientos más sencillos de la física, pero ya contienen las ideas clave de la cinemática: **posición, velocidad, aceleración y sus gráficas**. Dominarlos es imprescindible, porque el tiro parabólico, la caída libre o el movimiento circular se construyen a partir de ellos.

## Lo que vas a aprender

* Qué son la posición, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, y por qué llevan signo.
* Las ecuaciones del MRU y del MRUA y cuándo usar cada una.
* Leer e interpretar las gráficas $x(t)$ y $v(t)$: pendientes y áreas.
* Resolver problemas de encuentro y de persecución de dos móviles.
* Calcular tiempos y distancias de frenado.

## Cómo se usa el simulador

El simulador muestra una carretera con **dos móviles**, A y B. Para cada uno puedes elegir:

| Control | Qué representa | Rango |
| - | - | - |
| **x₀ · posición inicial** | Dónde está el móvil en $t = 0$, medido desde el origen | −500 – 500 m |
| **v₀ · velocidad inicial** | Su velocidad en $t = 0$; el signo indica el sentido | −40 – 40 m/s |
| **a · aceleración** | Si es cero, el móvil hace un MRU; si no, un MRUA | −5 – 5 m/s² |
| **Duración** | Tiempo total que se representa | 5 – 60 s |
| **t · instante** | Lleva a los dos móviles a cualquier instante | 0 – duración |

* Debajo de la carretera se dibujan las gráficas **$x(t)$** y **$v(t)$** de los dos móviles a la vez.
* El panel muestra $x_A$, $x_B$, $v_A$, $v_B$, la **distancia entre ellos** y, si se cruzan, **el instante y la posición del encuentro**.
* Los botones **Se cruzan**, **Persecución** y **Frenada** cargan tres situaciones típicas.
* Un móvil que frena **se queda parado** al llegar a $v = 0$, como un coche de verdad: no da marcha atrás.

<Tip>
  Como en el resto de Simulab, la configuración queda guardada en la dirección de la página: copia el enlace para compartir un problema concreto.
</Tip>

## Fundamentos teóricos

### Sistema de referencia y signos

Para describir un movimiento rectilíneo elegimos un **origen** y un **sentido positivo** sobre la recta. La posición $x$ es la coordenada del móvil: puede ser negativa si está a la izquierda del origen. La velocidad y la aceleración también tienen signo:

* $v > 0$: el móvil avanza en el sentido positivo; $v < 0$: retrocede.
* $a$ con el **mismo signo** que $v$: el móvil acelera (su rapidez aumenta).
* $a$ con **signo contrario** a $v$: el móvil frena.

<Note>
  "Aceleración negativa" no significa "frenar". Un coche que va hacia la izquierda ($v < 0$) y tiene $a < 0$ va cada vez más rápido.
</Note>

### Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

La velocidad es constante y la aceleración es nula:

$$
x = x_0 + v\,t \qquad v = \text{constante} \qquad a = 0
$$

* La gráfica $x(t)$ es una **recta** cuya pendiente es la velocidad.
* La gráfica $v(t)$ es una **recta horizontal**; el área bajo ella es el desplazamiento.

### Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

La aceleración es constante:

$$
v = v_0 + a\,t \qquad x = x_0 + v_0\,t + \tfrac12 a\,t^2
$$

Eliminando el tiempo entre ambas se obtiene una tercera ecuación muy útil cuando no conoces $t$:

$$
v^2 = v_0^2 + 2a\,(x - x_0)
$$

* La gráfica $x(t)$ es una **parábola**: abierta hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$.
* La gráfica $v(t)$ es una **recta** de pendiente $a$.
* La gráfica $a(t)$ es una recta horizontal.

### Lo que dicen las gráficas

| Gráfica | Pendiente | Área bajo la curva |
| - | - | - |
| $x(t)$ | Velocidad | — |
| $v(t)$ | Aceleración | Desplazamiento |
| $a(t)$ | — | Variación de velocidad |

El punto en el que la gráfica $x(t)$ de un MRUA tiene la tangente horizontal es el instante en el que el móvil **se para y da la vuelta** ($v = 0$).

### Desplazamiento y distancia recorrida

El desplazamiento es $\Delta x = x - x_0$. La distancia recorrida es la longitud total del camino. Solo coinciden si el móvil **no cambia de sentido**. Si en un MRUA la velocidad cambia de signo, hay que calcular por separado el tramo de ida y el de vuelta.

### Problemas de encuentro

Dos móviles se encuentran cuando están **en la misma posición en el mismo instante**:

$$
x_A(t) = x_B(t)
$$

El método es siempre el mismo:

1. Elige un único origen de posiciones y de tiempos para los dos.
2. Escribe la ecuación de posición de cada móvil, con sus signos.
3. Iguala las dos posiciones y despeja $t$.
4. Sustituye $t$ en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener el lugar del encuentro.

Si el que sale más tarde empieza a moverse en $t_1$, en su ecuación aparece $(t - t_1)$ en lugar de $t$.

### Frenado

Un vehículo que frena con deceleración constante $a$ desde $v_0$ hasta pararse tarda y recorre:

$$
t_f = \frac{v_0}{|a|} \qquad d_f = \frac{v_0^2}{2|a|}
$$

La distancia de frenado crece con el **cuadrado** de la velocidad: a doble velocidad, cuádruple distancia.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Dos coches que van uno hacia el otro" defaultOpen>
    El coche A sale del origen a 20 m/s hacia la derecha. En el mismo instante, el coche B está 300 m a la derecha y va hacia la izquierda a 10 m/s. ¿Cuándo y dónde se cruzan?

    **Ecuaciones:** $x_A = 20\,t$; $x_B = 300 - 10\,t$.

    **Encuentro:** $20\,t = 300 - 10\,t \Rightarrow 30\,t = 300 \Rightarrow t = 10$ s.

    **Posición:** $x = 20 \cdot 10 = 200$ m del origen.

    Compruébalo en el simulador con $x_{0A} = 0$, $v_A = 20$, $x_{0B} = 300$, $v_B = -10$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Persecución en un semáforo">
    Un coche está parado en un semáforo. Cuando se pone en verde arranca con $a = 2$ m/s², justo cuando lo adelanta una moto a 15 m/s constantes. ¿Cuándo la alcanza y a qué velocidad va entonces?

    **Ecuaciones:** $x_{\text{coche}} = \tfrac12 \cdot 2\,t^2 = t^2$; $x_{\text{moto}} = 15\,t$.

    **Encuentro:** $t^2 = 15\,t \Rightarrow t(t - 15) = 0$. La solución $t = 0$ es la salida; la que buscamos es $t = 15$ s.

    **Posición:** $x = 15^2 = 225$ m.

    **Velocidad del coche:** $v = 2 \cdot 15 = 30$ m/s, el doble que la moto. Es un resultado general: partiendo del reposo, cuando alcanza a un móvil uniforme va al doble de su velocidad.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Distancia de frenado">
    Un coche circula a 108 km/h y frena con una deceleración de 6 m/s². ¿Cuánto tarda en pararse y qué distancia recorre?

    **Paso a m/s:** $108 / 3{,}6 = 30$ m/s.

    **Tiempo:** $t = 30 / 6 = 5$ s.

    **Distancia:** $d = \dfrac{30^2}{2 \cdot 6} = 75$ m.

    Si fuese a 54 km/h (15 m/s), la distancia sería $15^2/12 = 18{,}75$ m: la cuarta parte.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · Leer una gráfica v(t)">
    Un móvil parte del reposo, acelera durante 4 s hasta 12 m/s, mantiene esa velocidad 6 s y frena hasta pararse en 3 s. ¿Qué distancia recorre?

    La distancia es el área bajo la gráfica $v(t)$, un trapecio:

    * Tramo 1 (triángulo): $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 12 = 24$ m.
    * Tramo 2 (rectángulo): $6 \cdot 12 = 72$ m.
    * Tramo 3 (triángulo): $\tfrac12 \cdot 3 \cdot 12 = 18$ m.

    **Total:** $24 + 72 + 18 = 114$ m. Las aceleraciones son $3$ m/s², $0$ y $-4$ m/s².
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="Encuentro de frente">
    Reproduce el ejemplo 1. Después duplica la velocidad de B. ¿Se cruzan antes o después? ¿Más cerca de A o de B?
  </Step>

  <Step title="La persecución que nunca acaba">
    Pon a los dos móviles con aceleración cero y la misma velocidad, separados 50 m. Mira las gráficas $x(t)$: ¿por qué no se cortan nunca?
  </Step>

  <Step title="Pendiente y área">
    Elige un MRUA con $v_0 = 0$ y $a = 2$ m/s². Comprueba en la gráfica $v(t)$ que la pendiente es 2 y que el área a los 5 s coincide con la posición.
  </Step>

  <Step title="Frenada">
    Pon $v_0 = 10$ m/s y $a = -2$ m/s². ¿En qué instante se para? ¿Qué forma tiene la gráfica $x(t)$ en ese punto? Comprueba que la distancia recorrida es $v_0^2/(2|a|) = 25$ m.
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Mezclar unidades.** Pasa siempre los km/h a m/s (divide entre 3,6) antes de operar.
* **Usar orígenes distintos para cada móvil** en un problema de encuentro. Las dos ecuaciones deben referirse al mismo origen y al mismo reloj.
* **Olvidar el signo de la velocidad** del móvil que va en sentido contrario.
* **Pensar que aceleración negativa es frenar.** Depende del signo de la velocidad.
* **Confundir desplazamiento con distancia** cuando el móvil da la vuelta.
* **Quedarse con un tiempo negativo** al resolver la ecuación de segundo grado: no tiene sentido físico.

## Preguntas frecuentes

<AccordionGroup>
  <Accordion title="¿Cuál es la diferencia entre velocidad y rapidez?">
    La velocidad tiene dirección y sentido (en una recta, un signo). La rapidez es solo su valor absoluto: lo que marca el velocímetro.
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Puede un móvil tener velocidad cero y aceleración distinta de cero?">
    Sí. Una pelota lanzada hacia arriba tiene velocidad cero en el punto más alto, pero su aceleración sigue siendo $g$ hacia abajo. Por eso no se queda quieta.
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Qué ecuación uso si no me dan el tiempo?">
    $v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x$. Es la más rápida para distancias de frenado o para hallar la velocidad tras recorrer cierta distancia.
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Qué significa que dos gráficas x(t) se corten?">
    Que los dos móviles están en el mismo sitio en ese instante: es el encuentro. Si las gráficas $v(t)$ se cortan, solo significa que en ese instante llevan la misma velocidad.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Simuladores relacionados

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Caída libre" icon="arrow-down" href="/fisica/cinematica/simulador-caida-libre">
    Un MRUA vertical con la aceleración de la gravedad.
  </Card>

  <Card title="Tiro parabólico" icon="bullseye" href="/fisica/cinematica/tiro-parabolico">
    Un MRU y un MRUA a la vez, en dos ejes.
  </Card>

  <Card title="Calculadora de aceleración" icon="calculator" href="/fisica/calculadoras/aceleracion">
    Velocidad final, tiempo y distancia de un MRUA.
  </Card>
</CardGroup>


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