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# Tiro parabólico: fórmulas, alcance y ejemplos resueltos
> Tiro parabólico explicado: ecuaciones, altura máxima, tiempo de vuelo, alcance y por qué 45°. Con ejemplos resueltos y un simulador interactivo.
Lanza un proyectil, mira su trayectoria punto a punto y compara hasta tres lanzamientos.
Un balón que se chuta, el agua de una manguera, una bala de cañón o una pelota de baloncesto camino de la canasta: todos describen la misma curva, una **parábola**. El tiro parabólico es el ejemplo clásico de movimiento en dos dimensiones y la mejor forma de entender una idea que se usa en toda la física: **un movimiento complicado se puede descomponer en movimientos sencillos e independientes**.
## Lo que vas a aprender
* Por qué la trayectoria de un proyectil es una parábola.
* Cómo separar el movimiento en un MRU horizontal y un MRUA vertical.
* Calcular el tiempo de vuelo, la altura máxima, el alcance y la velocidad de impacto.
* Por qué 45° da el máximo alcance (solo si se lanza desde el suelo) y por qué los ángulos complementarios llegan igual de lejos.
* Cómo cambia todo al cambiar de planeta.
## Cómo se usa el simulador
| Control | Qué hace | Rango |
| - | - | - |
| **v₀ · velocidad inicial** | Módulo de la velocidad con la que sale el proyectil | 1 – 50 m/s |
| **θ · ángulo** | Ángulo de lanzamiento sobre la horizontal | 0° – 90° |
| **h₀ · altura inicial** | Altura desde la que se lanza | 0 – 50 m |
| **Gravedad** | Tierra (9,81 m/s²), Luna (1,62), Marte (3,71) o Júpiter (24,79) | — |
| **t · tiempo** | Mueve el proyectil a cualquier instante del vuelo | 0 – tiempo de vuelo |
* **▶ Lanzar** anima el vuelo en tiempo real; puedes pausarlo y moverte con el deslizador de tiempo.
* **📌 Fijar trayectoria** deja dibujada la curva actual para compararla con otras (hasta tres).
* Las flechas sobre el proyectil son las componentes de la velocidad: $v_x$ (constante) y $v_y$ (cambia con el tiempo).
* El panel **Resultados** da el alcance, la altura máxima, el tiempo de vuelo y la velocidad de impacto.
La configuración se guarda en la dirección de la página: puedes copiar el enlace y compartir un lanzamiento concreto con tus alumnos o compañeros.
## Fundamentos teóricos
### Hipótesis del modelo
El simulador, como los problemas de clase, usa el modelo ideal:
1. **No hay rozamiento con el aire.** La única fuerza es el peso.
2. **La gravedad es constante**: mismo valor y misma dirección (vertical, hacia abajo) en toda la trayectoria. Es válido mientras la altura sea pequeña comparada con el radio del planeta.
3. **El proyectil es una partícula**: no importan su forma, su tamaño ni si gira.
### Descomposición del movimiento
Colocamos el origen en el suelo, justo debajo del punto de lanzamiento, con el eje $x$ horizontal y el eje $y$ vertical hacia arriba. La velocidad inicial forma un ángulo $\theta$ con la horizontal, así que sus componentes son:
$$
v_{0x} = v_0 \cos\theta \qquad v_{0y} = v_0 \sin\theta
$$
La aceleración es la de la gravedad, solo vertical: $\vec a = (0,\,-g)$. Como en el eje $x$ no hay aceleración y en el eje $y$ sí, el movimiento se separa en dos:
| | Eje $x$: MRU | Eje $y$: MRUA |
| - | - | - |
| Aceleración | $a_x = 0$ | $a_y = -g$ |
| Velocidad | $v_x = v_0\cos\theta$ (constante) | $v_y = v_0\sin\theta - g\,t$ |
| Posición | $x = v_0\cos\theta\; t$ | $y = h_0 + v_0\sin\theta\; t - \tfrac{1}{2} g\, t^2$ |
Los dos movimientos ocurren **a la vez** y están unidos solo por el tiempo $t$, que es el mismo para ambos. Es el principio de independencia de movimientos, que ya enunció Galileo.
### Ecuación de la trayectoria
Para obtener la forma de la curva eliminamos el tiempo. De la ecuación horizontal, $t = \dfrac{x}{v_0\cos\theta}$. Sustituyendo en la vertical:
$$
y = h_0 + x\tan\theta - \frac{g}{2\,v_0^2\cos^2\theta}\,x^2
$$
Es de la forma $y = a + bx - cx^2$ con $c > 0$: una **parábola con las ramas hacia abajo**. Por eso el movimiento se llama parabólico.
### Altura máxima
En el punto más alto la velocidad vertical se anula ($v_y = 0$), aunque la horizontal sigue siendo $v_0\cos\theta$. El proyectil **nunca está parado** en el vértice, salvo en el lanzamiento vertical.
$$
t_{\text{máx}} = \frac{v_0\sin\theta}{g} \qquad\Longrightarrow\qquad
y_{\text{máx}} = h_0 + \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}
$$
### Tiempo de vuelo
El proyectil llega al suelo cuando $y = 0$:
$$
h_0 + v_0\sin\theta\; t - \tfrac12 g t^2 = 0
\quad\Longrightarrow\quad
t_v = \frac{v_0\sin\theta + \sqrt{v_0^2\sin^2\theta + 2 g h_0}}{g}
$$
De las dos soluciones de la ecuación de segundo grado nos quedamos con la positiva (la negativa correspondería a un instante anterior al lanzamiento). Si se lanza desde el suelo ($h_0 = 0$) queda simplemente:
$$
t_v = \frac{2\,v_0\sin\theta}{g} = 2\,t_{\text{máx}}
$$
es decir, sube y baja en el mismo tiempo: la parábola es simétrica.
### Alcance
El alcance es la distancia horizontal recorrida durante el vuelo: $x_{\text{máx}} = v_0\cos\theta \cdot t_v$. Desde el suelo:
$$
x_{\text{máx}} = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}
$$
Esta fórmula esconde dos resultados famosos:
* **El alcance es máximo a 45°**, porque $\sin 2\theta$ vale como mucho 1, cuando $2\theta = 90°$.
* **Los ángulos complementarios dan el mismo alcance**: $\sin(2\cdot 30°) = \sin(2\cdot 60°)$, así que lanzar a 30° o a 60° llega igual de lejos. El de 60° sube más y tarda más; el de 30° va más rasante y llega antes.
Estas dos propiedades **solo valen si se lanza y se cae a la misma altura**. Desde una altura $h_0 > 0$, el ángulo de máximo alcance es **menor de 45°**, y tanto más pequeño cuanto mayor es la altura. Compruébalo en el simulador con $h_0 = 30$ m.
### Velocidad en cualquier instante y velocidad de impacto
La velocidad es tangente a la trayectoria y su módulo es:
$$
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}, \qquad \tan\varphi = \frac{v_y}{v_x}
$$
donde $\varphi$ es el ángulo con la horizontal (positivo al subir, negativo al bajar). La velocidad de impacto se puede obtener sustituyendo $t_v$, o de forma más directa con la conservación de la energía:
$$
v_{\text{impacto}} = \sqrt{v_0^2 + 2 g h_0}
$$
Fíjate en que **no depende del ángulo**: con la misma velocidad inicial y desde la misma altura, el proyectil llega al suelo con la misma rapidez lo lances como lo lances (aunque con distinta dirección).
### Visión energética
Sin rozamiento la energía mecánica se conserva:
$$
\tfrac12 m v_0^2 + m g h_0 = \tfrac12 m v^2 + m g y
$$
Mientras sube, la energía cinética se convierte en potencial; mientras baja, al revés. Pero la energía cinética **nunca llega a cero** (salvo en el tiro vertical), porque la parte asociada a $v_x$ no cambia en todo el vuelo.
### Otros planetas
Todas las fórmulas llevan $g$ en el denominador, así que con la misma $v_0$ y el mismo ángulo:
| Lugar | $g$ (m/s²) | Alcance comparado con la Tierra |
| - | - | - |
| Júpiter | 24,79 | × 0,40 |
| Tierra | 9,81 | × 1 |
| Marte | 3,71 | × 2,6 |
| Luna | 1,62 | × 6,1 |
Lanzado desde el suelo, el alcance, la altura máxima y el tiempo de vuelo son inversamente proporcionales a $g$: en la Luna todo es unas seis veces mayor. La **forma** de la parábola se conserva; solo cambia la escala.
### Casos particulares
* **Tiro horizontal** ($\theta = 0°$, $h_0 > 0$): sale con $v_y = 0$. Tiempo de caída $t = \sqrt{2h_0/g}$, el mismo que si se dejara caer: la velocidad horizontal no hace que caiga más despacio.
* **Tiro vertical** ($\theta = 90°$): $v_x = 0$, es un MRUA en línea recta. Alcance cero.
* **Tiro desde el suelo** ($h_0 = 0$): trayectoria simétrica, valen las fórmulas simplificadas.
## Ejemplos resueltos
Se chuta un balón a 20 m/s con un ángulo de 30°. Calcula el tiempo de vuelo, la altura máxima y el alcance ($g = 9{,}81$ m/s²).
**Componentes:** $v_{0x} = 20\cos 30° = 17{,}32$ m/s; $v_{0y} = 20\sin 30° = 10$ m/s.
**Tiempo de vuelo:** $t_v = \dfrac{2 \cdot 10}{9{,}81} = 2{,}04$ s.
**Altura máxima:** $y_{\text{máx}} = \dfrac{10^2}{2\cdot 9{,}81} = 5{,}10$ m.
**Alcance:** $x_{\text{máx}} = 17{,}32 \cdot 2{,}04 = 35{,}3$ m (o con $v_0^2 \sin 60°/g = 35{,}3$ m).
Prueba ahora 60°: el alcance sale igual, pero la altura máxima pasa a 15,3 m.
Desde un acantilado de 45 m se lanza una piedra horizontalmente a 12 m/s. ¿A qué distancia de la base cae y con qué velocidad?
**Tiempo de caída:** $45 = \tfrac12 \cdot 9{,}81\, t^2 \Rightarrow t = \sqrt{90/9{,}81} = 3{,}03$ s.
**Distancia:** $x = 12 \cdot 3{,}03 = 36{,}3$ m.
**Velocidad:** $v_x = 12$ m/s, $v_y = -9{,}81 \cdot 3{,}03 = -29{,}7$ m/s, así que $v = \sqrt{12^2 + 29{,}7^2} = 32{,}0$ m/s, con un ángulo $\varphi = \arctan(29{,}7/12) = 68°$ bajo la horizontal.
Comprobación energética: $\sqrt{12^2 + 2\cdot 9{,}81\cdot 45} = 32{,}0$ m/s. ✓
Un lanzador de peso suelta la bola a 2 m de altura con 13 m/s y 40°. ¿Qué distancia alcanza?
**Componentes:** $v_{0x} = 13\cos 40° = 9{,}96$ m/s; $v_{0y} = 13\sin 40° = 8{,}36$ m/s.
**Tiempo de vuelo:** $t_v = \dfrac{8{,}36 + \sqrt{8{,}36^2 + 2\cdot 9{,}81\cdot 2}}{9{,}81} = \dfrac{8{,}36 + 10{,}44}{9{,}81} = 1{,}92$ s.
**Alcance:** $x = 9{,}96 \cdot 1{,}92 = 19{,}1$ m.
Con la misma velocidad a 45° sale 19,0 m: desde una altura, el ángulo óptimo es menor de 45°, y por eso los lanzadores de peso salen a unos 37–40°.
Un jugador lanza desde 2,1 m de altura, a 6,0 m de la canasta (aro a 3,05 m), con 50°. ¿Qué velocidad necesita?
Usamos la ecuación de la trayectoria con $x = 6$ m e $y = 3{,}05$ m:
$3{,}05 = 2{,}1 + 6\tan 50° - \frac{9{,}81 \cdot 36}{2 v_0^2 \cos^2 50°}$
Como $6\tan 50° = 7{,}15$, queda $\dfrac{353{,}2}{0{,}826\, v_0^2} = 6{,}20 \Rightarrow v_0^2 = 69{,}0 \Rightarrow v_0 = 8{,}3$ m/s.
## Experimenta con el simulador
Con $h_0 = 0$ y $v_0 = 20$ m/s, prueba 30°, 40°, 45°, 50° y 60°, fijando cada trayectoria. ¿Cuál llega más lejos? ¿Qué parejas llegan al mismo sitio?
Sube la altura inicial a 30 m y busca el ángulo que da el mayor alcance. ¿Es mayor o menor de 45°?
Lanza y mueve el deslizador de tiempo. Observa las flechas: ¿cuál cambia y cuál no? ¿Cuánto vale $v_y$ en el punto más alto?
Fija un lanzamiento en la Tierra y repítelo en la Luna. ¿Por cuánto se multiplica el alcance? ¿Y la altura? Compáralo con $9{,}81/1{,}62$.
Con $h_0 = 20$ m y $v_0 = 15$ m/s, cambia el ángulo y mira la velocidad de impacto. ¿Cambia? Explícalo con la energía.
## Errores frecuentes
* **Decir que en el punto más alto la velocidad es cero.** Solo se anula $v_y$; $v_x$ sigue igual.
* **Usar $v_0$ en vez de sus componentes.** En el eje $x$ va $v_0\cos\theta$ y en el $y$, $v_0\sin\theta$; nunca $v_0$ sola.
* **Aplicar $x = v_0^2\sin 2\theta / g$ cuando se lanza desde una altura.** Esa fórmula solo vale si el proyectil cae a la misma altura de la que salió.
* **Olvidar el signo de la gravedad.** Con el eje $y$ hacia arriba, $a_y = -g$.
* **Quedarse con la raíz negativa** del tiempo de vuelo, o mezclar grados y radianes en la calculadora.
## Limitaciones del modelo
En la realidad el aire frena al proyectil con una fuerza que crece con la velocidad (aproximadamente con su cuadrado). El efecto es pequeño para objetos pesados y lentos, pero enorme para un balón de fútbol, una pelota de golf o una bala:
* La trayectoria deja de ser simétrica: la bajada es más inclinada que la subida.
* El alcance real es menor, y el ángulo óptimo baja de 45°.
* El giro del objeto (efecto Magnus) curva la trayectoria: es lo que hace un balón con "efecto".
El modelo sin aire describe muy bien lanzamientos cortos de objetos compactos, y perfectamente cualquier lanzamiento en la Luna.
## Un poco de historia
Durante siglos se pensó, siguiendo a Aristóteles, que un proyectil avanzaba en línea recta hasta "agotar su ímpetu" y luego caía en vertical. **Galileo Galilei**, en sus *Discursos sobre dos nuevas ciencias* (1638), demostró que la trayectoria es una parábola combinando un movimiento horizontal uniforme con una caída acelerada. Fue una de las primeras veces en que se usaron las matemáticas para describir con precisión un movimiento real, y la idea de descomponer movimientos sigue siendo la base de la mecánica.
## Preguntas frecuentes
Desde el suelo, el alcance es $v_0^2\sin 2\theta / g$, y $\sin 2\theta$ es máximo (vale 1) cuando $2\theta = 90°$. Intuitivamente, a 45° se equilibran la velocidad horizontal (que hace avanzar) y la vertical (que da tiempo de vuelo).
No. Si salen desde la misma altura, las dos llegan al suelo a la vez, porque su movimiento vertical es idéntico ($v_{0y} = 0$). La velocidad horizontal solo hace que la disparada caiga más lejos.
Sin aire, no: la aceleración es $g$ para cualquier masa, así que la trayectoria es la misma. Con aire sí importa, porque un objeto más pesado (con la misma forma) se frena menos.
La velocidad vertical es cero y la velocidad es horizontal, $v_0\cos\theta$. La aceleración sigue siendo $g$ hacia abajo: la gravedad no se "apaga" en ningún momento.
No. La trayectoria es $y$ frente a $x$, la curva que dibuja el objeto. Las gráficas $x(t)$ e $y(t)$ son otra cosa: $x(t)$ es una recta e $y(t)$, una parábola en el tiempo.
## Simuladores relacionados
Los dos movimientos que componen el tiro parabólico, por separado.
El movimiento vertical, con y sin rozamiento del aire.
La conservación de la energía en una montaña rusa.
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