> ## Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# Paquete de ondas y efecto túnel: la ecuación de Schrödinger en 1D

> Un paquete de ondas cuántico que avanza, se ensancha, se refleja y atraviesa barreras por efecto túnel: ecuación de Schrödinger, principio de incertidumbre y coeficiente de transmisión.

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/fisica/paquete-ondas">
  Una partícula cuántica como una onda que avanza, se ensancha, rebota y atraviesa barreras.
</Card>

Una pelota que llega a un muro más alto de lo que puede saltar rebota. Siempre. Una partícula cuántica, no: **a veces lo atraviesa**. Este **efecto túnel** explica la radiactividad alfa, la fusión nuclear en el Sol y el funcionamiento de las memorias flash. Para verlo, el simulador resuelve la **ecuación de Schrödinger** para un paquete de ondas que viaja hacia distintos potenciales.

## Lo que vas a aprender

* Cómo se describe una partícula localizada con un paquete de ondas.
* La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
* Por qué un paquete se ensancha: el principio de incertidumbre.
* Qué es el efecto túnel y cómo se calcula la probabilidad de atravesar una barrera.
* Por qué hay reflexión aunque haya energía para pasar.

## Cómo se usa el simulador

* **Potencial**: **libre**, **barrera**, **escalón**, **pozo** u **oscilador**.

| Control | Qué hace | Rango |
| - | - | - |
| **k₀ · momento del paquete** | Momento medio (y energía) | 0,3 – 2 |
| **σ · anchura del paquete** | Anchura inicial | 2 – 15 |
| **V₀ · altura** | Altura de la barrera, escalón o pozo | 0,05 – 1,5 |
| **Anchura** | Anchura de la barrera o el pozo | 0,5 – 15 |

* El relleno es la probabilidad $|\psi|^2$, la línea clara la parte real de ψ, el gris el potencial y la discontinua la energía del paquete.
* El panel da la energía del paquete, el cociente $E/V_0$, el porcentaje **reflejado** y **transmitido** y la probabilidad total (que siempre es 100 %).
* Las unidades son $\hbar = m = 1$.

## Fundamentos teóricos

### La ecuación de Schrödinger

La función de onda de una partícula en una dimensión evoluciona según:

$$
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi
$$

$|\psi(x, t)|^2$ es la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en $x$.

### Paquete de ondas

Una onda plana $e^{ik_0x}$ tiene un momento exacto, $p = \hbar k_0$, pero está extendida por todo el espacio. Para describir una partícula **localizada** se multiplica por una envolvente gaussiana de anchura $\sigma$:

$$
\psi(x, 0) \propto e^{-(x - x_0)^2/4\sigma^2}\,e^{ik_0x}
$$

Su energía media es $E = \dfrac{\hbar^2k_0^2}{2m} + \dfrac{\hbar^2}{8m\sigma^2}$.

### Por qué se ensancha

Un paquete localizado es una mezcla de ondas con distintos momentos. Cada una avanza a su velocidad, así que el paquete se va **dispersando**. Es el **principio de incertidumbre**:

$$
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
$$

Cuanto más estrecho al principio, mayor dispersión de momentos y antes se ensancha.

### Efecto túnel

Si el paquete llega a una barrera de altura $V_0 > E$, en mecánica clásica rebotaría entero. En cuántica, dentro de la barrera la onda no se anula de golpe, sino que **decae exponencialmente** con:

$$
\kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}
$$

Si la barrera es fina, llega algo al otro lado. Para una barrera rectangular de anchura $a$, la probabilidad de transmisión de una onda plana es:

$$
T = \left[1 + \frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0 - E)}\right]^{-1}
$$

Para barreras gruesas, $T \approx e^{-2\kappa a}$: **cae exponencialmente** con la anchura y con $\sqrt{V_0 - E}$.

### Reflexión cuántica

Incluso con $E > V_0$, una parte de la onda se refleja en cualquier cambio brusco del potencial, como la luz se refleja en parte al pasar del aire al vidrio.

### El método numérico

El simulador usa el método de **Crank-Nicolson**, que es estable y **unitario**: conserva exactamente la probabilidad total.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Túnel a través de una barrera" defaultOpen>
    $E = 0{,}5$, $V_0 = 0{,}6$, $a = 3$ (unidades $\hbar = m = 1$).

    $\kappa = \sqrt{2 \cdot 0{,}1} = 0{,}447$; $\kappa a = 1{,}342$; $\sinh(1{,}342) = 1{,}782$.

    $T = \left[1 + \dfrac{0{,}36 \cdot 3{,}18}{4 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}1}\right]^{-1} = 0{,}149$: un 15 % pasa, aunque no tiene energía suficiente.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Energía del paquete">
    Con $k_0 = 1$ y $\sigma = 6$: $E = \tfrac12 + \dfrac{1}{8 \cdot 36} = 0{,}503$. Es el valor que muestra el simulador.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="Libre">
    Con el potencial libre, compara un paquete con σ = 2 y otro con σ = 15. ¿Cuál se ensancha antes?
  </Step>

  <Step title="Efecto túnel">
    Con la barrera, ajusta $E/V_0 < 1$. Mide el porcentaje transmitido para anchuras de 1, 3 y 6.
  </Step>

  <Step title="Reflexión con energía de sobra">
    Sube $k_0$ para que $E > V_0$. ¿Pasa todo el paquete?
  </Step>

  <Step title="Oscilador">
    Con el oscilador, mira cómo el paquete va y viene. ¿Recupera su forma?
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Pensar que la partícula "se divide"** en la barrera. Al medir, aparece entera a un lado o al otro, con las probabilidades $R$ y $T$.
* **Creer que el túnel viola la conservación de la energía.** La partícula tiene la misma energía antes y después.
* **Olvidar que $T$ depende exponencialmente de la anchura.** Una barrera el doble de gruesa no deja pasar la mitad, sino muchísimo menos.

## Preguntas frecuentes

<AccordionGroup>
  <Accordion title="¿Dónde aparece el efecto túnel?">
    En la radiactividad alfa, en la fusión nuclear del Sol, en el microscopio de efecto túnel, en los diodos túnel y en las memorias flash.
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Por qué rebota parte de la onda con energía de sobra?">
    Porque cualquier cambio brusco del potencial produce una onda reflejada. Es una propiedad de las ondas sin equivalente en la mecánica clásica de partículas.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Simuladores relacionados

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Doble rendija" icon="atom" href="/fisica/cuantica/doble-rendija">
    Interferencia de partículas.
  </Card>

  <Card title="Orbitales del hidrógeno" icon="atom" href="/fisica/cuantica/orbitales-hidrogeno">
    Estados estacionarios en 3D.
  </Card>

  <Card title="Ondas e interferencia" icon="wave-square" href="/fisica/ondas/ondas">
    Ondas clásicas.
  </Card>
</CardGroup>


This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.