> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Dinámica del sólido rígido: momento de inercia, par y momento angular > Dinámica de rotación del sólido rígido: velocidad y aceleración angular, momento de una fuerza (par), momento de inercia y tabla de momentos, teorema de Steiner, segunda ley de Newton para la rotación, energía cinética de rotación, rodadura, momento angular y su conservación, con ejemplos resueltos. Un punto material solo se traslada; un **sólido rígido** además **gira**. Una rueda, una puerta, una peonza o la Tierra tienen tamaño y forma, y para describir su movimiento hacen falta las versiones "de rotación" de la fuerza, la masa y el momento lineal: el **par**, el **momento de inercia** y el **momento angular**. Con ellas, las leyes de Newton explican por qué una patinadora gira más rápido al encoger los brazos o por qué un cilindro macizo baja una rampa antes que uno hueco. ## Lo que vas a aprender * Las magnitudes angulares: posición, velocidad y aceleración angular. * Qué es el momento de una fuerza y cómo se calcula. * El momento de inercia, su tabla y el teorema de Steiner. * La segunda ley de Newton para la rotación. * La energía cinética de rotación y la rodadura. * El momento angular y su conservación. ## Fundamentos teóricos ### Analogía entre traslación y rotación | Traslación | Rotación | Relación | | - | - | - | | Posición $x$ | Ángulo $\theta$ | $s = r\theta$ | | Velocidad $v$ | Velocidad angular $\omega$ | $v = \omega r$ | | Aceleración $a$ | Aceleración angular $\alpha$ | $a_t = \alpha r$ | | Masa $m$ | Momento de inercia $I$ | $I = \sum m_i r_i^2$ | | Fuerza $F$ | Momento (par) $\tau$ | $\boldsymbol\tau = \mathbf{r}\times\mathbf{F}$ | | $F = ma$ | $\tau = I\alpha$ | | | Momento lineal $p = mv$ | Momento angular $L = I\omega$ | | | $E_c = \frac12 mv^2$ | $E_c = \frac12 I\omega^2$ | | | Trabajo $F\,d$ | Trabajo $\tau\,\theta$ | | | Potencia $F\,v$ | Potencia $\tau\,\omega$ | | Las ecuaciones del [movimiento circular](https://apuntes.simulab.es/fisica/cinematica/movimiento-circular.md) uniformemente acelerado son las mismas que las del MRUA, cambiando cada magnitud por su angular. ### Momento de una fuerza $$ \boldsymbol\tau = \mathbf{r}\times\mathbf{F} \qquad |\tau| = r\,F\operatorname{sen}\varphi = F\,d $$ $d$ es el **brazo**: la distancia del eje a la línea de acción de la fuerza. Por eso las manillas están lejos de las bisagras y una llave larga afloja mejor una tuerca. Se mide en N·m. ### Momento de inercia Mide la resistencia a cambiar la rotación. No depende solo de la masa, sino de **cómo se reparte** respecto del eje: $$ I = \sum m_i\,r_i^2 \qquad I = \int r^2\,dm $$ | Cuerpo (masa $M$) | Eje | $I$ | | - | - | - | | Masa puntual a distancia $R$ | | $MR^2$ | | Aro o cilindro hueco de radio $R$ | Central | $MR^2$ | | Disco o cilindro macizo | Central | $\frac12 MR^2$ | | Esfera maciza | Diámetro | $\frac25 MR^2$ | | Esfera hueca (corteza) | Diámetro | $\frac23 MR^2$ | | Varilla de longitud $L$ | Centro, perpendicular | $\frac{1}{12}ML^2$ | | Varilla de longitud $L$ | Extremo, perpendicular | $\frac13 ML^2$ | | Placa rectangular $a\times b$ | Centro, perpendicular | $\frac{1}{12}M(a^2 + b^2)$ | Las fórmulas salen de integrales como las del tema de [integrales múltiples](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/integrales-multiples.md). ### Teorema de Steiner (ejes paralelos) $$ I = I_{cm} + M\,d^2 $$ El momento respecto de un eje es el del eje paralelo por el centro de masas más $Md^2$. Por eso el mínimo siempre está en el eje que pasa por el centro de masas. ### Segunda ley de Newton para la rotación $$ \sum\tau = I\,\alpha $$ Para un sistema con poleas y cuerdas, se escribe $F = ma$ para cada masa que se traslada y $\tau = I\alpha$ para cada polea, con $a = \alpha R$ si la cuerda no desliza. ### Energía y rodadura Un cuerpo que rueda sin deslizar tiene $v_{cm} = \omega R$ y su energía cinética es la suma de la de traslación y la de rotación: $$ E_c = \tfrac12 M v_{cm}^2 + \tfrac12 I_{cm}\omega^2 $$ Bajando una rampa de altura $h$ desde el reposo, con $I = k\,MR^2$: $$ v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + k}} $$ Cuanto menor es $k$, más rápido llega: esfera maciza ($k = \frac25$) antes que cilindro macizo ($\frac12$), y este antes que el aro ($1$). La masa y el radio no influyen. ### Momento angular $$ \mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} \qquad L = I\,\omega \text{ (sólido que gira en torno a un eje fijo)} $$ $$ \sum\boldsymbol\tau_{\text{ext}} = \frac{d\mathbf{L}}{dt} $$ **Conservación:** si el par externo es nulo, $\mathbf{L}$ se conserva: $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$. Explica el giro de los patinadores, la estabilidad de una bicicleta en marcha, la [segunda ley de Kepler](https://apuntes.simulab.es/fisica/gravitacion/gravitacion.md) y la precesión de las peonzas y los giroscopios. ### Equilibrio estático Un sólido está en equilibrio si $$ \sum\mathbf{F} = \mathbf{0} \qquad \sum\boldsymbol\tau = \mathbf{0} $$ respecto de **cualquier** punto. Conviene tomar momentos respecto del punto donde actúan más fuerzas desconocidas. ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Momento de una fuerza > > Se empuja una puerta de 0,8 m de ancho con 20 N, perpendicular, en la manilla: $\tau = 0{,}8\cdot20 = 16$ N·m. > > A 20 cm de las bisagras haría falta $F = 16/0{,}2 = 80$ N para el mismo efecto. > [accordion] Ejemplo 2 · Steiner > > Varilla de 2 kg y 1,2 m. Respecto del centro: $I = \frac{1}{12}\cdot2\cdot1{,}44 = 0{,}24$ kg·m². > > Respecto de un extremo: $I = 0{,}24 + 2\cdot0{,}6^2 = 0{,}96$ kg·m², que coincide con $\frac13ML^2$. > [accordion] Ejemplo 3 · Polea con masa > > Una masa de 2 kg cuelga de una cuerda enrollada en un disco de 4 kg y radio 0,1 m. ¿Aceleración? > > Masa: $mg - T = ma$. Disco: $TR = \frac12 MR^2\cdot\frac{a}{R} \Rightarrow T = \frac12 Ma = 2a$. > > $19{,}6 - 2a = 2a \Rightarrow a = 4{,}9$ m/s², la mitad de $g$. Con una polea sin masa sería $g$. > [accordion] Ejemplo 4 · Carrera por una rampa > > Rampa de 1 m de altura. Esfera maciza: $v = \sqrt{\frac{2\cdot9{,}8}{1{,}4}} = 3{,}74$ m/s. Cilindro macizo: $\sqrt{\frac{19{,}6}{1{,}5}} = 3{,}61$ m/s. Aro: $\sqrt{\frac{19{,}6}{2}} = 3{,}13$ m/s. > > Un bloque que deslizara sin rozamiento llegaría a $\sqrt{19{,}6} = 4{,}43$ m/s: no gasta energía en girar. > [accordion] Ejemplo 5 · Patinadora > > Gira a 2 vueltas/s con los brazos abiertos ($I = 4$ kg·m²). Al cerrarlos, $I = 1{,}6$ kg·m². > > $\omega_2 = \frac{4\cdot2}{1{,}6} = 5$ vueltas/s. La energía cinética sube de $\frac12\cdot4\cdot(4\pi)^2 = 316$ J a $\frac12\cdot1{,}6\cdot(10\pi)^2 = 790$ J: la diferencia es el trabajo de sus músculos al encoger los brazos. > [accordion] Ejemplo 6 · Viga en equilibrio > > Viga de 4 m y 50 kg apoyada en sus extremos, con una carga de 100 kg a 1 m del apoyo A. > > Momentos respecto de A: $R_B\cdot4 = 490\cdot2 + 980\cdot1 \Rightarrow R_B = 490$ N. Fuerzas: $R_A = 490 + 980 - 490 = 980$ N. ## Errores frecuentes * **Usar la distancia al punto de aplicación en lugar del brazo.** Si la fuerza no es perpendicular, el brazo es $r\operatorname{sen}\varphi$. * **Tomar el momento de inercia de una tabla con el eje equivocado.** El de una varilla por el centro y por el extremo difieren en un factor 4. * **Olvidar la energía de rotación** en problemas de rodadura. * **Aplicar la conservación del momento angular con pares externos.** Solo vale si el par externo neto es cero. * **Trabajar en rpm o grados.** $\omega$ va en rad/s: 1 rpm $= \frac{2\pi}{60}$ rad/s. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Por qué los volantes de inercia tienen la masa en el borde? > > Porque así, con la misma masa, el momento de inercia es mayor y almacenan más energía, $\frac12 I\omega^2$, a la misma velocidad. Se usan en motores, en sistemas de almacenamiento de energía y en el KERS de la Fórmula 1. > [accordion] ¿Por qué no se cae una bicicleta en marcha? > > El momento angular de las ruedas ayuda algo, pero la causa principal es la geometría de la dirección y las correcciones del ciclista: al inclinarse, la rueda delantera gira hacia ese lado y devuelve la bici a la vertical. Se ha comprobado con bicicletas experimentales sin efecto giroscópico. ## Temas relacionados > [card] [Movimiento circular](https://apuntes.simulab.es/fisica/cinematica/movimiento-circular.md) > > Velocidad y aceleración angular. > [card] [Péndulo esférico](https://apuntes.simulab.es/fisica/oscilaciones/pendulo-esferico.md) > > Conservación del momento angular en el simulador. > [card] [Energía mecánica](https://apuntes.simulab.es/fisica/dinamica/energia-mecanica.md) > > Conservación de la energía. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.