> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Ley de Gauss: flujo eléctrico y campo de distribuciones de carga > La ley de Gauss explicada: flujo del campo eléctrico, enunciado integral y diferencial, cómo elegir la superficie gaussiana, campo de una carga puntual, una esfera cargada, un hilo infinito y un plano infinito, conductores en equilibrio y ley de Gauss del magnetismo, con ejemplos resueltos. La ley de Coulomb permite calcular el campo de cualquier distribución de cargas, pero sumando (o integrando) la contribución de cada trozo, lo que puede ser muy laborioso. La **ley de Gauss** dice lo mismo de otra forma: el **flujo** del campo eléctrico a través de una superficie cerrada solo depende de la **carga encerrada**. Cuando la distribución tiene simetría (esférica, cilíndrica o plana), permite calcular el campo en dos líneas. Es la primera de las cuatro ecuaciones de Maxwell. ## Lo que vas a aprender * Qué es el flujo de un campo a través de una superficie. * El enunciado de la ley de Gauss en forma integral y diferencial. * Cómo elegir una superficie gaussiana según la simetría. * El campo de una esfera, un hilo y un plano cargados. * Por qué el campo dentro de un conductor en equilibrio es nulo. ## Fundamentos teóricos ### Flujo eléctrico El flujo mide "cuántas líneas de campo" atraviesan una superficie: $$ \Phi_E = \int_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} $$ Para un campo uniforme y una superficie plana, $\Phi_E = E\,S\cos\theta$, con $\theta$ el ángulo entre el campo y la normal. En una superficie **cerrada** la normal apunta hacia fuera: el flujo es positivo si sale y negativo si entra. ### La ley de Gauss $$ \oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} $$ con $\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot10^{-12}$ C²/(N·m²). Las cargas de fuera de la superficie producen flujo neto **cero**: sus líneas entran y salen. En forma diferencial, con el [teorema de la divergencia](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/calculo-vectorial.md): $$ \nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} $$ Las cargas son las **fuentes** del campo eléctrico. ### Cómo se usa 1. Identifica la **simetría** de la distribución. 2. Elige una **superficie gaussiana** que pase por el punto donde quieres el campo y en la que $E$ sea constante y perpendicular (o paralelo) a la superficie. 3. Calcula el flujo, que se reduce a $E \times$ área. 4. Calcula la carga encerrada. 5. Despeja $E$. | Simetría | Superficie gaussiana | Flujo | | - | - | - | | Esférica | Esfera concéntrica | $E\cdot4\pi r^2$ | | Cilíndrica (hilo) | Cilindro coaxial | $E\cdot2\pi r L$ (las tapas no cuentan) | | Plana | Cilindro que atraviesa el plano | $E\cdot2S$ (solo las tapas) | ### Resultados clásicos | Distribución | Campo | | - | - | | Carga puntual $q$ | $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$ (la ley de Coulomb) | | Esfera de carga $Q$, fuera ($r > R$) | $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$, como una carga puntual | | Corteza esférica, dentro | $E = 0$ | | Esfera maciza uniforme, dentro ($r < R$) | $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q\,r}{R^3}$, crece linealmente | | Hilo infinito, densidad $\lambda$ | $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ | | Plano infinito, densidad $\sigma$ | $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, constante | | Condensador plano (entre placas) | $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ | ### Conductores en equilibrio En un conductor en equilibrio las cargas libres no se mueven, así que: * El campo **dentro** es cero. * Toda la carga neta está en la **superficie**. * Justo fuera, el campo es perpendicular a la superficie y vale $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$. * La carga se acumula más en las **puntas**, donde el radio de curvatura es menor: es el **efecto de las puntas** que explica el pararrayos, y que puedes ver en el simulador de [cargas en un conductor](https://apuntes.simulab.es/fisica/electromagnetismo/cargas-conductor.md). Una **jaula de Faraday** (una caja conductora) aísla su interior de campos eléctricos externos. ### Gauss para el magnetismo $$ \oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0 \qquad \nabla\cdot\mathbf{B} = 0 $$ No existen monopolos magnéticos: las líneas de campo magnético son siempre cerradas. ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Flujo a través de un cubo > > Una carga de 2 µC está en el centro de un cubo. Flujo total: $\frac{2\cdot10^{-6}}{8{,}854\cdot10^{-12}} = 2{,}26\cdot10^5$ N·m²/C. > > Por simetría, por cada cara pasa la sexta parte: $3{,}76\cdot10^4$ N·m²/C. No importa el tamaño del cubo. > [accordion] Ejemplo 2 · Esfera maciza cargada > > Una esfera de 10 cm de radio con 5 nC repartidos uniformemente. > > A 20 cm: $E = 9\cdot10^9\cdot\frac{5\cdot10^{-9}}{0{,}04} = 1125$ N/C. > > A 5 cm (dentro): $E = 9\cdot10^9\cdot\frac{5\cdot10^{-9}\cdot0{,}05}{0{,}001} = 2250$ N/C. En la superficie es máximo: 4500 N/C. > [accordion] Ejemplo 3 · Hilo cargado > > Un cable largo con $\lambda = 3$ nC/m. A 2 cm: $E = \frac{3\cdot10^{-9}}{2\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}02} = 2700$ N/C. > > Decrece como $1/r$, más despacio que una carga puntual. > [accordion] Ejemplo 4 · Condensador plano > > Placas con $\sigma = \pm 1$ µC/m². Cada placa crea $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 5{,}65\cdot10^4$ N/C. Entre ellas los campos se suman: $1{,}13\cdot10^5$ N/C. Fuera se anulan. > [accordion] Ejemplo 5 · Carga en una corteza conductora > > Una carga $+q$ en el centro de una corteza conductora neutra. Por Gauss, en el interior del metal $E = 0$, así que la carga encerrada por una superficie dentro del metal es 0: en la cara interna se induce $-q$, y en la externa, $+q$. Fuera, el campo es el de una carga $q$ en el centro. ## Errores frecuentes * **Pensar que el campo en la superficie gaussiana solo lo crean las cargas de dentro.** Lo crean todas; lo que solo depende de las de dentro es el **flujo**. * **Usar Gauss sin simetría.** La ley siempre es cierta, pero solo sirve para despejar $E$ si $E$ es constante sobre la superficie. * **Incluir el flujo de las caras laterales** del cilindro en el caso del plano (o de las tapas en el caso del hilo): ahí el campo es paralelo a la superficie. * **Olvidar que dentro de una esfera maciza** solo cuenta la carga encerrada hasta el radio $r$. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Qué relación hay con la gravedad? > > La gravedad también decrece con $1/r^2$, así que cumple una ley de Gauss: $\oint\mathbf{g}\cdot d\mathbf{S} = -4\pi G M_{\text{enc}}$. Por eso un planeta esférico atrae como si toda su masa estuviera en el centro, y por eso en un túnel que atravesara la Tierra la gravedad disminuiría linealmente hacia el centro. > [accordion] ¿Por qué es seguro estar dentro de un coche durante una tormenta? > > La carrocería metálica actúa como jaula de Faraday: si cae un rayo, la corriente circula por el exterior y el campo dentro es casi nulo. Lo que protege es el metal, no los neumáticos. ## Temas relacionados > [card] [Campo eléctrico](https://apuntes.simulab.es/fisica/electromagnetismo/campo-electrico.md) > > Líneas de campo y potencial. > [card] [Cargas en un conductor](https://apuntes.simulab.es/fisica/electromagnetismo/cargas-conductor.md) > > El efecto de las puntas. > [card] [Cálculo vectorial](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/calculo-vectorial.md) > > Flujo y teorema de la divergencia. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.