> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Ondas electromagnéticas: ecuaciones de Maxwell, espectro y energía > Ondas electromagnéticas explicadas: las cuatro ecuaciones de Maxwell, cómo predicen las ondas, velocidad de la luz, relación entre E y B, espectro electromagnético, energía, intensidad y vector de Poynting, presión de radiación, polarización y fotones, con ejemplos resueltos. En 1865, James Clerk Maxwell reunió todo lo que se sabía de electricidad y magnetismo en cuatro ecuaciones y descubrió que predecían algo nuevo: **ondas** de campo eléctrico y magnético que viajan solas por el vacío a una velocidad de unos 300 000 km/s. Era justo la velocidad de la luz medida. La luz es una onda electromagnética, igual que las ondas de radio, las microondas, los rayos X o la señal del móvil: solo cambia la frecuencia. ## Lo que vas a aprender * Las cuatro ecuaciones de Maxwell y qué dice cada una. * Cómo se deduce de ellas una onda que viaja a la velocidad de la luz. * La relación entre los campos eléctrico y magnético de una onda. * El espectro electromagnético. * La energía, la intensidad y el vector de Poynting. * La polarización y la idea de fotón. ## Fundamentos teóricos ### Las ecuaciones de Maxwell | Ley | Forma integral | Forma diferencial | Significado | | - | - | - | - | | Gauss (eléctrica) | $\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ | $\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ | Las cargas crean campo eléctrico | | Gauss (magnética) | $\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0$ | $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$ | No hay monopolos magnéticos | | Faraday | $\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ | $\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$ | Un $B$ variable crea $E$ | | Ampère-Maxwell | $\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I + \mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$ | $\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$ | Corrientes y $E$ variable crean $B$ | La aportación de Maxwell fue el último término, la **corriente de desplazamiento**: un campo eléctrico variable crea campo magnético, aunque no haya corriente. Las leyes de [Gauss](https://apuntes.simulab.es/fisica/electromagnetismo/ley-de-gauss.md) y de [Faraday](https://apuntes.simulab.es/fisica/electromagnetismo/induccion-electromagnetica.md) tienen sus propios temas. ### De dónde sale la onda En el vacío ($\rho = 0$, $\mathbf{J} = 0$), un campo $E$ variable crea un $B$ variable, que crea un $E$ variable… Combinando las dos ecuaciones de rotacional se obtiene la **ecuación de ondas**: $$ \nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} $$ cuya velocidad de propagación es $$ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = 299\,792\,458\text{ m/s} $$ Maxwell calculó este número con medidas de laboratorio de condensadores y bobinas, y coincidía con la velocidad de la luz. ### Una onda plana Para una onda que avanza en el eje $x$: $$ \mathbf{E} = E_0\cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}} \qquad \mathbf{B} = B_0\cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}} $$ * Es **transversal**: $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ son perpendiculares entre sí y a la dirección de avance. * Están **en fase** y sus amplitudes cumplen $E_0 = c\,B_0$. * $c = \lambda f = \frac{\omega}{k}$. En un medio, la velocidad es $v = c/n$, con $n$ el índice de refracción (ver [refracción](https://apuntes.simulab.es/fisica/optica/refraccion.md)). ### El espectro electromagnético | Tipo | Longitud de onda | Frecuencia | Usos | | - | - | - | - | | Radio | > 1 m | \< 300 MHz | Radio, TV, comunicaciones | | Microondas | 1 mm – 1 m | 300 MHz – 300 GHz | Wifi, móviles, radar, hornos | | Infrarrojo | 700 nm – 1 mm | | Calor, mandos, cámaras térmicas | | **Visible** | 400 – 700 nm | 430 – 750 THz | La vista | | Ultravioleta | 10 – 400 nm | | Bronceado, esterilización | | Rayos X | 0,01 – 10 nm | | Radiografías, cristalografía | | Rayos gamma | \< 0,01 nm | | Radiactividad, radioterapia | ### Energía e intensidad La densidad de energía se reparte por igual entre los dos campos: $$ u = \tfrac12\varepsilon_0E^2 + \frac{B^2}{2\mu_0} = \varepsilon_0E^2 $$ El flujo de energía lo da el **vector de Poynting**, que apunta en la dirección de propagación: $$ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B} $$ La **intensidad** (potencia por unidad de área, promediada en el tiempo) es $$ I = \langle S\rangle = \tfrac12\,c\,\varepsilon_0\,E_0^2 $$ Una fuente puntual de potencia $P$ que emite igual en todas direcciones da $I = \frac{P}{4\pi r^2}$. ### Presión de radiación Las ondas transportan momento: al ser absorbidas ejercen una presión $p = I/c$ (el doble si se reflejan). Es diminuta, pero empuja las colas de los cometas y las velas solares. ### Polarización La dirección en la que oscila $\mathbf{E}$ es la **polarización**. La luz del Sol no está polarizada (oscila en todas direcciones); un polarizador deja pasar solo una. Con dos polarizadores, la intensidad que pasa sigue la **ley de Malus**: $$ I = I_0\cos^2\theta $$ ### Fotones A escala microscópica, la energía de una onda llega en paquetes, los **fotones**, de energía $$ E = h\,f = \frac{hc}{\lambda} \qquad h = 6{,}626\cdot10^{-34}\text{ J·s} $$ Por eso los rayos UV, X y gamma pueden romper enlaces químicos y dañar el ADN, y las ondas de radio, por intensas que sean, no. ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Longitud de onda > > Una emisora de FM en 100 MHz: $\lambda = \frac{3\cdot10^8}{10^8} = 3$ m. El wifi de 2,4 GHz: $\lambda = 12{,}5$ cm. La luz verde de 530 nm: $f = 5{,}66\cdot10^{14}$ Hz. > [accordion] Ejemplo 2 · Campos de la luz solar > > La intensidad del Sol en la Tierra es de unos 1360 W/m². > > $E_0 = \sqrt{\frac{2I}{c\varepsilon_0}} = \sqrt{\frac{2720}{3\cdot10^8\cdot8{,}85\cdot10^{-12}}} = 1012$ V/m. $B_0 = E_0/c = 3{,}4$ µT, menos de una décima parte del campo magnético terrestre. > [accordion] Ejemplo 3 · Intensidad de una antena > > Una antena de móvil de 20 W que emite en todas direcciones, a 50 m: $I = \frac{20}{4\pi\cdot2500} = 6{,}4\cdot10^{-4}$ W/m², muy por debajo de los límites de exposición (del orden de 10 W/m² a esas frecuencias). > [accordion] Ejemplo 4 · Energía de un fotón > > Luz roja de 650 nm: $E = \frac{6{,}626\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8}{650\cdot10^{-9}} = 3{,}06\cdot10^{-19}$ J $= 1{,}9$ eV. > > Un rayo X de 0,1 nm: 12 400 eV, unas 6500 veces más. > [accordion] Ejemplo 5 · Dos polarizadores > > Luz no polarizada de 100 W/m² atraviesa un polarizador (sale la mitad, 50 W/m²) y luego otro girado 60°: $I = 50\cos^260° = 12{,}5$ W/m². ## Errores frecuentes * **Pensar que las ondas electromagnéticas necesitan un medio.** Se propagan en el vacío; los campos se sostienen el uno al otro. * **Confundir la amplitud con la frecuencia.** La "peligrosidad" de una radiación para el ADN depende de la energía de cada fotón ($hf$), no de la intensidad. * **Usar $E_0 = B_0$.** En el SI, $E_0 = cB_0$. * **Olvidar el $\frac12$** del promedio temporal en la intensidad. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Cómo se producen? > > Siempre que una carga **acelera**: los electrones que oscilan en una antena emiten ondas de radio; los átomos que cambian de nivel emiten luz; los electrones frenados bruscamente en un tubo emiten rayos X. > [accordion] ¿La luz es una onda o una partícula? > > Las dos cosas, según el experimento: se propaga e interfiere como una onda, y se absorbe y emite en fotones. Lo puedes ver en el simulador de la [doble rendija](https://apuntes.simulab.es/fisica/cuantica/doble-rendija.md), donde los fotones llegan uno a uno pero forman un patrón de interferencia. ## Temas relacionados > [card] [Ondas e interferencia](https://apuntes.simulab.es/fisica/ondas/ondas.md) > > Ondas en general. > [card] [Óptica geométrica](https://apuntes.simulab.es/fisica/optica/optica.md) > > Reflexión, refracción y lentes. > [card] [Doble rendija](https://apuntes.simulab.es/fisica/cuantica/doble-rendija.md) > > La luz como onda y como partícula. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.