> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Caminata aleatoria y difusión: por qué la distancia crece como √N > La caminata aleatoria explicada: pasos al azar en una línea o un plano, desplazamiento cuadrático medio, crecimiento como √N, campana de Gauss, movimiento browniano y difusión. Cientos de caminantes que dan pasos al azar: cómo se dispersan y por qué la distancia crece como √N. Un borracho sale de una farola y en cada paso elige una dirección al azar. ¿A qué distancia estará después de 100 pasos? No a 100 pasos, porque unos deshacen lo que hacen otros, pero tampoco en la farola. Estará, típicamente, a unos **10 pasos**: $\sqrt{100}$. Esta **caminata aleatoria** es el modelo del movimiento browniano, de la difusión de una gota de tinta y de muchos procesos en biología, finanzas e informática. ## Lo que vas a aprender * Qué es una caminata aleatoria en una y en dos dimensiones. * Por qué la posición media no se mueve pero los caminantes se dispersan. * Por qué la distancia típica crece como $\sqrt N$. * Por qué aparece una campana de Gauss. * Su relación con la difusión y el movimiento browniano. ## Cómo se usa el simulador * **Caminata**: **en una línea** o **en un plano**. | Control | Qué hace | Rango | | - | - | - | | **Número de caminantes** | Cuántos caminan a la vez | 50 – 600 | | **Pasos por fotograma** | Velocidad de la simulación | 1 – 15 | * Los puntos grises son todos los caminantes; tres de ellos dejan su camino en color. El círculo tiene radio $\sqrt N$. * La gráfica **Desplazamiento cuadrático medio** compara $\langle r^2\rangle$ medido con la recta $\langle r^2\rangle = N$. * El histograma **Dónde están en x** va tomando forma de campana. * El panel da los pasos $N$, $\langle r^2\rangle$, la distancia típica $\sqrt{\langle r^2\rangle}$ y $\sqrt N$. ## Fundamentos teóricos ### El modelo Cada paso tiene longitud $\ell$ y dirección al azar, independiente de los anteriores: izquierda o derecha en una línea; arriba, abajo, izquierda o derecha en una cuadrícula. ### La posición media no cambia Como cada paso tiene la misma probabilidad de ir en un sentido que en el contrario, **en promedio** no se avanza: $\langle x\rangle = 0$. La nube de caminantes se queda centrada en el punto de salida. ### Pero se dispersan La posición tras $N$ pasos es la suma de $N$ pasos independientes. Al elevar al cuadrado y promediar, los productos cruzados se anulan (los pasos son independientes) y queda: $$ \langle r^2\rangle = N\,\ell^2 \qquad r_{\text{típica}} = \sqrt{\langle r^2\rangle} = \ell\sqrt N $$ **Para alejarse el doble hacen falta cuatro veces más pasos.** ### La campana de Gauss Por el **teorema central del límite**, la suma de muchos pasos independientes tiende a una distribución **normal**, sea cual sea la forma de cada paso. Con unos cientos de pasos, el histograma ya es una campana de anchura $\ell\sqrt N$. ### Difusión Si los pasos se dan a un ritmo constante, $N$ es proporcional al tiempo y: $$ \langle x^2\rangle = 2Dt \quad (\text{una dimensión}) $$ $D$ es el **coeficiente de difusión**. Por eso la difusión es rápida a distancias cortas y lentísima a distancias largas. ### Movimiento browniano En 1827, Robert Brown vio que los granos de polen en agua se movían sin parar de forma errática. En 1905, Einstein explicó que eran los golpes de las moléculas del agua y relacionó $D$ con el tamaño de las moléculas. Jean Perrin lo midió y obtuvo el número de Avogadro: fue la prueba definitiva de que los átomos existen. ## Ejemplos resueltos Una partícula da pasos al azar de 1 µm. ¿A qué distancia típica estará tras 10 000 pasos? ¿Y tras 40 000? $1\ \mu\text{m} \cdot \sqrt{10\,000} = 100\ \mu$m; $1\ \mu\text{m} \cdot \sqrt{40\,000} = 200\ \mu$m. Cuatro veces más pasos, el doble de distancia. La tinta en agua tiene $D \approx 10^{-9}$ m²/s. ¿Cuánto tarda en difundirse 1 cm? $t = x^2/(2D) = 10^{-4}/(2 \cdot 10^{-9}) = 5 \cdot 10^4$ s $\approx 14$ horas. Por eso, para mezclar, removemos. ## Experimenta con el simulador Deja correr la caminata en un plano y compara la distancia típica con $\sqrt N$ a los 100, 400 y 1600 pasos. Mira la gráfica de $\langle r^2\rangle$. ¿Sigue la recta discontinua? ¿Se aleja más con pocos caminantes? En una línea, observa cómo el histograma se convierte en una campana y se ensancha. ## Errores frecuentes * **Pensar que tras $N$ pasos se está a $N$ pasos.** Eso solo si todos fueran en la misma dirección. * **Creer que la media cero significa que no se mueven.** Se dispersan; la media se queda en cero por simetría. * **Confundir $\langle r^2\rangle$ con $\langle r\rangle^2$.** ## Preguntas frecuentes En una línea y en un plano, sí, con probabilidad 1, aunque puede tardar muchísimo. En tres dimensiones no: hay alrededor de un 66 % de probabilidad de no volver nunca. Es un teorema de George Pólya. En la difusión de moléculas y calor, el movimiento de bacterias, los precios en bolsa, los algoritmos de búsqueda (como el PageRank de Google) y los métodos de Monte Carlo. ## Simuladores relacionados Dos gases que se mezclan. La misma campana con bolas y clavos. La campana de Gauss. 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