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# Distribución de Boltzmann: niveles de energía y temperatura

> La distribución de Boltzmann explicada: el factor e^(−E/kT), la energía térmica kT, la función de partición, la degeneración y por qué la distribución aparece sola al repartir energía al azar.

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/fisica/distribucion-boltzmann">
  Cómo se reparten las partículas entre niveles de energía según la temperatura, y cómo aparece la distribución al intercambiar energía al azar.
</Card>

En un vaso de agua a temperatura ambiente, unas moléculas se mueven despacio y otras muy deprisa. En un gas, la mayoría de las moléculas está en su estado de menor energía, pero unas pocas están excitadas. ¿Cuántas en cada nivel? La respuesta la dio Ludwig Boltzmann: la proporción cae **exponencialmente** con la energía, y la temperatura fija lo rápido que cae. Es una de las fórmulas más usadas de toda la física y la química.

## Lo que vas a aprender

* El factor de Boltzmann $e^{-E/kT}$ y qué significa $kT$.
* Calcular la población de cada nivel a una temperatura.
* Qué es la función de partición y la degeneración.
* Por qué la distribución exponencial aparece sola al repartir energía al azar.

## Cómo se usa el simulador

Tiene dos modos.

**Niveles y temperatura**

* **Sistema**: niveles **equiespaciados**, **dos niveles** o niveles de **rotación** (con degeneración $2J + 1$).
* **T · temperatura**: de 10 a 3000 K. **ε · separación entre niveles**: de 1 a 200 meV.
* La gráfica muestra la **población de cada nivel**. El panel da $kT$, la función de partición $Z$, la energía media y el cociente $N_1/N_0$.

**Intercambio al azar**

* 400 osciladores empiezan con la misma energía y se pasan **cuantos** de energía al azar. Mira cómo, sin que nadie lo imponga, el histograma acaba siendo exponencial.

## Fundamentos teóricos

### El factor de Boltzmann

En equilibrio a temperatura $T$, la probabilidad de que una partícula esté en un estado de energía $E$ es proporcional a:

$$
e^{-E/kT}
$$

con $k = 1{,}381 \cdot 10^{-23}$ J/K $= 8{,}617 \cdot 10^{-5}$ eV/K.

### La energía térmica kT

$kT$ es la energía térmica típica a la temperatura $T$. A 300 K vale **25,9 meV**. Lo que importa es comparar la separación entre niveles con $kT$:

* Si $\Delta E \gg kT$: casi todas las partículas están en el nivel fundamental.
* Si $\Delta E \ll kT$: se reparten por muchos niveles.

### Poblaciones relativas

El cociente entre las poblaciones de dos niveles:

$$
\frac{N_j}{N_i} = \frac{g_j}{g_i}\,e^{-(E_j - E_i)/kT}
$$

$g$ es la **degeneración**: cuántos estados distintos tienen esa energía. En la rotación de una molécula, el nivel $J$ tiene $2J + 1$ orientaciones.

### Función de partición

Para normalizar, se suman todos los factores:

$$
Z = \sum_i g_i\,e^{-E_i/kT} \qquad P_i = \frac{g_i\,e^{-E_i/kT}}{Z}
$$

De $Z$ salen la energía media, la capacidad calorífica y la entropía. Para niveles equiespaciados con $x = e^{-\varepsilon/kT}$:

$$
Z = \frac{1}{1 - x} \qquad \langle E\rangle = \frac{\varepsilon\,x}{1 - x}
$$

### ¿Por qué exponencial?

Imagina una cantidad fija de energía que se reparte entre muchas partículas. Hay **muchísimas más maneras** de repartirla si la mayoría tiene poca y unas pocas tienen mucha que si todas tienen lo mismo. El equilibrio es el estado que se puede conseguir de más maneras (el de máxima entropía), y ese reparto es exponencial. Por eso en el modo de intercambio la distribución aparece sola.

### Dos niveles

Con dos niveles no degenerados, la fracción excitada es $\dfrac{e^{-\Delta E/kT}}{1 + e^{-\Delta E/kT}}$, que **nunca pasa del 50 %**, por alta que sea la temperatura. Para tener más partículas arriba que abajo (inversión de población, la que necesita un láser) hay que bombear energía desde fuera.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Dos niveles" defaultOpen>
    Dos niveles separados 50 meV. ¿Qué fracción está excitada a 300 K? ¿Y a 1000 K?

    A 300 K: $e^{-50/25{,}9} = 0{,}145$; fracción $= 0{,}145/1{,}145 = 12{,}7\,\%$.

    A 1000 K: $kT = 86{,}2$ meV; $e^{-50/86{,}2} = 0{,}560$; fracción $= 35{,}9\,\%$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Niveles equiespaciados">
    Niveles separados 25 meV a 300 K: $x = e^{-25/25{,}85} = 0{,}380$.

    $Z = 1/(1 - 0{,}380) = 1{,}613$ y $\langle E\rangle = 25 \cdot 0{,}380/0{,}620 = 15{,}3$ meV. Son los valores del simulador al empezar.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · La atmósfera">
    La presión del aire cae con la altura según $e^{-mgh/kT}$. La altura a la que se divide entre $e$ para el nitrógeno a 300 K es:

    $H = \dfrac{RT}{Mg} = \dfrac{8{,}314 \cdot 300}{0{,}028 \cdot 9{,}81} = 9{,}1$ km.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="Frío y caliente">
    Con niveles equiespaciados, baja la temperatura a 10 K y súbela a 3000 K. ¿Cómo cambia la población de los niveles?
  </Step>

  <Step title="El límite del 50 %">
    Con dos niveles, sube mucho la temperatura. ¿Llega la población excitada al 50 %? ¿La supera?
  </Step>

  <Step title="Degeneración">
    Con la rotación, busca una temperatura a la que el primer nivel excitado esté más poblado que el fundamental.
  </Step>

  <Step title="Azar">
    En el modo de intercambio, espera y compara el histograma con la curva exponencial.
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Mezclar unidades** de energía y de $k$ (eV con J/K).
* **Usar temperaturas en °C.**
* **Olvidar la degeneración** al comparar poblaciones.

## Preguntas frecuentes

<AccordionGroup>
  <Accordion title="¿Dónde se usa?">
    En la velocidad de las reacciones (ecuación de Arrhenius), los espectros de moléculas y estrellas, la presión de la atmósfera, la conducción en semiconductores y el láser.
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Qué relación tiene con Maxwell-Boltzmann?">
    La distribución de velocidades de un gas es la de Boltzmann aplicada a la energía cinética, multiplicada por el número de formas de tener cada velocidad.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Simuladores relacionados

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Teoría cinética" icon="atom" href="/fisica/termodinamica/teoria-cinetica">
    Maxwell-Boltzmann en un gas.
  </Card>

  <Card title="Difusión de gases" icon="wind" href="/fisica/termodinamica/difusion-gases">
    Entropía y mezcla.
  </Card>

  <Card title="Caminata aleatoria" icon="shoe-prints" href="/fisica/fisica-estadistica/caminata-aleatoria">
    Otro proceso al azar.
  </Card>
</CardGroup>


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