> ## Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# Ecuación de Bernoulli y ecuación de continuidad: fluidos en movimiento

> Dinámica de fluidos explicada: caudal, ecuación de continuidad, ecuación de Bernoulli y sus términos, teorema de Torricelli, efecto Venturi y tubo de Pitot, sustentación, viscosidad, número de Reynolds, flujo laminar y turbulento, ley de Poiseuille y pérdidas de carga, con ejemplos resueltos.

Cuando un río se estrecha, el agua corre más deprisa. Cuando el aire pasa rápido sobre el ala de un avión, la presión baja y el avión se sostiene. Estos fenómenos los explican dos ecuaciones: la de **continuidad**, que es la conservación de la masa, y la de **Bernoulli**, que es la conservación de la energía en un fluido en movimiento. Son la base de la hidráulica, la aerodinámica y el diseño de tuberías.

## Lo que vas a aprender

* Qué es el caudal y la ecuación de continuidad.
* La ecuación de Bernoulli y el significado de cada término.
* Aplicaciones: Torricelli, Venturi, Pitot y sustentación.
* Qué es la viscosidad y el número de Reynolds.
* La diferencia entre flujo laminar y turbulento.
* La ley de Poiseuille y las pérdidas de carga en tuberías.

## Fundamentos teóricos

### Caudal y continuidad

El **caudal** es el volumen que atraviesa una sección por unidad de tiempo:

$$
Q = S\,v \quad (\text{m}^3/\text{s})
$$

Para un fluido **incompresible** (líquidos, y gases a velocidades bajas), lo que entra por un extremo de un tubo sale por el otro:

$$
S_1\,v_1 = S_2\,v_2
$$

Donde el tubo se estrecha, el fluido acelera. Es lo que pasa al tapar a medias la boca de una manguera.

### Ecuación de Bernoulli

Para un fluido ideal (incompresible, sin viscosidad, flujo estacionario), a lo largo de una línea de corriente:

$$
p + \tfrac12\rho v^2 + \rho g h = \text{constante}
$$

| Término | Significado (energía por unidad de volumen) |
| - | - |
| $p$ | Presión estática |
| $\frac12\rho v^2$ | Presión dinámica (energía cinética) |
| $\rho g h$ | Energía potencial gravitatoria |

Dividiendo por $\rho g$ se escribe en **alturas** (metros de columna de fluido), como se hace en hidráulica: $\frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + h = H$.

**Consecuencia clave:** a la misma altura, donde el fluido va **más rápido**, la presión es **menor**.

### Aplicaciones

**Teorema de Torricelli.** Un líquido sale por un orificio a una profundidad $h$ bajo la superficie con la velocidad de una caída libre:

$$
v = \sqrt{2gh}
$$

**Efecto Venturi.** En un estrechamiento la velocidad sube y la presión baja. Midiendo la diferencia de presiones se calcula el caudal. Se usa en caudalímetros, carburadores, pulverizadores y trompas de vacío.

**Tubo de Pitot.** Mide la diferencia entre la presión de estancamiento (donde el fluido se para) y la estática: $v = \sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}$. Es el velocímetro de los aviones.

**Sustentación.** El perfil del ala y su ángulo hacen que el aire vaya más rápido por arriba que por abajo; la diferencia de presión empuja el ala hacia arriba. (La explicación completa incluye también que el ala desvía el aire hacia abajo, por la tercera ley de Newton.)

### Viscosidad y número de Reynolds

Los fluidos reales tienen **viscosidad** $\mu$: rozamiento interno entre capas. El **número de Reynolds** compara la inercia con la viscosidad:

$$
Re = \frac{\rho\,v\,D}{\mu}
$$

| $Re$ en una tubería | Flujo |
| - | - |
| Menor que unos 2300 | **Laminar**: capas ordenadas, perfil de velocidad parabólico |
| Entre 2300 y 4000 | Transición |
| Mayor que unos 4000 | **Turbulento**: remolinos, mezcla, más pérdidas |

### Ley de Poiseuille

En flujo laminar por un tubo de radio $R$ y longitud $L$:

$$
Q = \frac{\pi R^4\,\Delta p}{8\,\mu\,L}
$$

El caudal va con la **cuarta potencia** del radio: si una arteria se estrecha a la mitad, para el mismo caudal el corazón necesita 16 veces más presión.

### Pérdidas de carga

En fluidos reales, la energía no se conserva: parte se disipa por rozamiento. Bernoulli se completa con un término de pérdidas:

$$
\frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + h_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + h_2 + h_f
$$

En tuberías, la **ecuación de Darcy-Weisbach** da $h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}$, con un factor de fricción $f$ que depende de $Re$ y de la rugosidad (diagrama de Moody). En laminar, $f = 64/Re$.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Continuidad
>
> Por una tubería de 4 cm de diámetro circula agua a 1,5 m/s y luego se estrecha a 2 cm.
>
> $v_2 = v_1\left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2 = 1{,}5\cdot4 = 6$ m/s. Caudal: $Q = \pi\cdot0{,}02^2\cdot1{,}5 = 1{,}88\cdot10^{-3}$ m³/s, unos 1,9 L/s.

> [accordion] Ejemplo 2 · Bernoulli en el estrechamiento
>
> En el tubo anterior, horizontal, con $p_1 = 200$ kPa:
>
> $p_2 = p_1 + \frac12\rho(v_1^2 - v_2^2) = 200\,000 + 500\,(2{,}25 - 36) = 183\,125$ Pa ≈ 183 kPa. La presión baja 17 kPa.

> [accordion] Ejemplo 3 · Torricelli
>
> Un depósito tiene un agujero 3 m bajo la superficie del agua. $v = \sqrt{2\cdot9{,}8\cdot3} = 7{,}7$ m/s.
>
> Con un agujero de 1 cm² sale $Q = 10^{-4}\cdot7{,}7 = 0{,}77$ L/s (algo menos en la realidad, por la contracción del chorro).

> [accordion] Ejemplo 4 · Tubo de Pitot
>
> Un avión mide $\Delta p = 3000$ Pa en un aire de 0,9 kg/m³. $v = \sqrt{\frac{6000}{0{,}9}} = 81{,}6$ m/s ≈ 294 km/h.

> [accordion] Ejemplo 5 · Número de Reynolds
>
> Agua a 20 °C ($\mu = 10^{-3}$ Pa·s) por una tubería de 2 cm a 1 m/s: $Re = \frac{1000\cdot1\cdot0{,}02}{10^{-3}} = 20\,000$. **Turbulento**, como casi todas las tuberías de agua.
>
> La sangre en un capilar (5 µm, 1 mm/s, $\mu \approx 3\cdot10^{-3}$): $Re \approx 0{,}002$, totalmente laminar.

> [accordion] Ejemplo 6 · Poiseuille
>
> Una aguja hipodérmica de 0,2 mm de radio y 3 cm, con agua y $\Delta p = 50$ kPa:
>
> $Q = \frac{\pi(2\cdot10^{-4})^4\cdot5\cdot10^4}{8\cdot10^{-3}\cdot0{,}03} = 1{,}05\cdot10^{-6}$ m³/s, aproximadamente 1 mL/s.

## Errores frecuentes

* **Aplicar Bernoulli entre puntos de líneas de corriente distintas** o con mucha viscosidad sin añadir pérdidas.
* **Usar el diámetro en lugar del área** en la continuidad: la velocidad va con el cuadrado del diámetro.
* **Pensar que más velocidad significa más presión.** Es al revés: la presión estática baja.
* **Olvidar el término de altura** cuando los puntos están a distinto nivel.
* **Aplicar Poiseuille a flujo turbulento.** Solo vale en laminar.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Por qué se acerca la cortina de la ducha?
>
> El chorro de agua arrastra aire y crea una corriente; además, el aire caliente sube. La presión dentro de la ducha baja un poco respecto de fuera y la cortina se mete hacia dentro. Es una mezcla de Bernoulli y convección.

> [accordion] ¿Por qué las pelotas con efecto se curvan?
>
> Por el **efecto Magnus**: la pelota que gira arrastra el aire de alrededor, que va más rápido por un lado que por el otro. La diferencia de presiones empuja la pelota hacia el lado de mayor velocidad relativa. Es lo que curva los lanzamientos de falta en fútbol.

## Temas relacionados

> [card] [Hidrostática](https://apuntes.simulab.es/fisica/fluidos/hidrostatica.md)
>
> Pascal y Arquímedes.

> [card] [Energía mecánica](https://apuntes.simulab.es/fisica/dinamica/energia-mecanica.md)
>
> La conservación de la energía detrás de Bernoulli.

> [card] [Difusión de gases](https://apuntes.simulab.es/fisica/termodinamica/difusion-gases.md)
>
> Mezcla de fluidos a nivel molecular.


This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.