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# Movimiento armónico simple (MAS): ecuaciones, muelle y péndulo

> Movimiento armónico simple explicado: ecuación x(t), velocidad, aceleración, periodo de un muelle y de un péndulo, energía del oscilador y ejemplos resueltos.

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/fisica/movimiento-armonico">
  Masa y muelle o péndulo: elongación, velocidad, aceleración y energía en el tiempo.
</Card>

Un muelle que rebota, un columpio, la cuerda de una guitarra o los átomos de un sólido vibran de la misma manera: alrededor de una posición de equilibrio y con una fuerza que siempre tira hacia ella. El modelo más sencillo de oscilación es el **movimiento armónico simple** (MAS), y es tan importante porque **cualquier sistema que oscila con poca amplitud** se comporta, en primera aproximación, como un MAS.

## Lo que vas a aprender

* Qué fuerza produce un MAS y cuál es su ecuación.
* Las magnitudes del MAS: amplitud, pulsación, periodo, frecuencia y fase.
* Las ecuaciones de la posición, la velocidad y la aceleración, y su desfase.
* El periodo de un muelle y de un péndulo, y de qué no dependen.
* Cómo se reparte la energía entre cinética y potencial.

## Cómo se usa el simulador

| Control | Qué hace | Rango |
| - | - | - |
| **Sistema** | Masa y muelle o péndulo | — |
| **A · amplitud** | Separación máxima del equilibrio | 2 – 50 cm |
| **k · constante del muelle** | Rigidez del muelle | 1 – 500 N/m |
| **m · masa** | Masa que oscila | 0,05 – 10 kg |
| **φ₀ · fase inicial** | Dónde empieza el movimiento dentro del ciclo | 0° – 360° |

En el modo péndulo los controles cambian a la **longitud**, el **planeta** y el ángulo inicial.

* La gráfica muestra $x(t)$, $v(t)$ y $a(t)$, cada una escalada a su máximo, para ver sus desfases.
* El panel da la **pulsación**, el **periodo**, la **frecuencia**, los valores instantáneos de $x$, $v$ y $a$, y las **barras de energía** cinética, potencial y mecánica.
* En el péndulo, el simulador calcula el movimiento exacto y compara el periodo real con el de la fórmula de ángulos pequeños.

## Fundamentos teóricos

### La fuerza recuperadora

Un cuerpo hace un MAS cuando la fuerza que lo devuelve al equilibrio es **proporcional a la separación** y de sentido contrario. En un muelle es la **ley de Hooke**:

$$
F = -k\,x
$$

Con la segunda ley de Newton, $m\,a = -k\,x$, es decir:

$$
a = -\frac{k}{m}\,x = -\omega^2 x
$$

La aceleración es proporcional a la elongación y siempre apunta hacia el equilibrio.

### Ecuación del movimiento

La solución de esa ecuación es una función sinusoidal:

$$
x(t) = A\,\sin(\omega t + \varphi_0)
$$

| Magnitud | Símbolo | Significado | Unidad |
| - | - | - | - |
| Elongación | $x$ | Separación del equilibrio en cada instante | m |
| Amplitud | $A$ | Elongación máxima | m |
| Pulsación | $\omega$ | Rapidez angular del ciclo | rad/s |
| Fase inicial | $\varphi_0$ | Dónde empieza el ciclo en $t = 0$ | rad |
| Periodo | $T = 2\pi/\omega$ | Tiempo de una oscilación completa | s |
| Frecuencia | $f = 1/T$ | Oscilaciones por segundo | Hz |

### Velocidad y aceleración

Derivando la posición:

$$
v(t) = A\,\omega\cos(\omega t + \varphi_0) \qquad a(t) = -A\,\omega^2\sin(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x
$$

* La velocidad va **un cuarto de periodo por delante** de la elongación.
* La aceleración está en **oposición de fase** con la elongación.
* La velocidad es máxima en el equilibrio, $v_{\text{máx}} = A\omega$, y nula en los extremos.
* La aceleración es nula en el equilibrio y máxima en los extremos, $a_{\text{máx}} = A\omega^2$.

Una relación muy útil, que no necesita el tiempo:

$$
v = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}
$$

### Periodo de un muelle

$$
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
$$

El periodo **no depende de la amplitud**: si estiras más el muelle, la masa recorre más camino pero va más deprisa. Con cuatro veces más masa, el periodo se duplica.

### Periodo de un péndulo

Para ángulos pequeños ($\sin\theta \approx \theta$), un péndulo simple de longitud $L$ hace un MAS con:

$$
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}
$$

No depende de la masa ni (para ángulos pequeños) de la amplitud. Esta propiedad, el **isocronismo**, la descubrió Galileo y es la base de los relojes de péndulo. Hasta unos 15° el error es menor del 0,5 %; a 45° el periodo real ya es un 4 % mayor.

### Energía del oscilador

La energía potencial elástica de un muelle es $E_p = \tfrac12 k x^2$. Sumando la cinética:

$$
E = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2
$$

La energía mecánica es constante y proporcional al **cuadrado de la amplitud**. En los extremos es toda potencial; al pasar por el equilibrio, toda cinética.

### MAS y movimiento circular

Un MAS es la **proyección** sobre un diámetro de un movimiento circular uniforme de radio $A$ y velocidad angular $\omega$. Por eso se habla de "pulsación" y de "fase" con ángulos.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Masa y muelle" defaultOpen>
    Una masa de 0,5 kg unida a un muelle de $k = 50$ N/m oscila con 20 cm de amplitud. Calcula el periodo, la velocidad y aceleración máximas y la energía.

    **Pulsación:** $\omega = \sqrt{50/0{,}5} = 10$ rad/s. **Periodo:** $T = 2\pi/10 = 0{,}628$ s.

    **Velocidad máxima:** $v_{\text{máx}} = 0{,}2 \cdot 10 = 2$ m/s.

    **Aceleración máxima:** $a_{\text{máx}} = 0{,}2 \cdot 100 = 20$ m/s².

    **Energía:** $E = \tfrac12 \cdot 50 \cdot 0{,}2^2 = 1$ J. Son los valores por defecto del simulador.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · A mitad de camino">
    En el mismo oscilador, ¿qué velocidad lleva la masa cuando está a 10 cm del equilibrio? ¿Cómo se reparte la energía?

    $v = 10\sqrt{0{,}2^2 - 0{,}1^2} = 1{,}73$ m/s.

    $E_p = \tfrac12 \cdot 50 \cdot 0{,}1^2 = 0{,}25$ J y $E_c = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$ J. A mitad de amplitud, solo un cuarto de la energía es potencial.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Péndulo en la Tierra y en la Luna">
    ¿Cuál es el periodo de un péndulo de 1 m en la Tierra? ¿Y en la Luna?

    Tierra: $T = 2\pi\sqrt{1/9{,}81} = 2{,}01$ s. Por eso un péndulo de 1 m "bate segundos": cada ida dura un segundo.

    Luna: $T = 2\pi\sqrt{1/1{,}62} = 4{,}94$ s.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · Escribir la ecuación">
    Un oscilador tiene $A = 5$ cm, $T = 0{,}5$ s y en $t = 0$ está en el extremo positivo. Escribe $x(t)$.

    $\omega = 2\pi/0{,}5 = 4\pi$ rad/s. Como empieza en $x = A$, $\sin\varphi_0 = 1 \Rightarrow \varphi_0 = \pi/2$.

    $x(t) = 0{,}05\sin(4\pi t + \pi/2)$ m, que es lo mismo que $0{,}05\cos(4\pi t)$.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="La amplitud no cambia el periodo">
    Con el muelle, cambia la amplitud de 5 a 50 cm. ¿Cambia el periodo? ¿Qué pasa con la velocidad máxima?
  </Step>

  <Step title="Cuatro veces la masa">
    Pasa de 0,5 kg a 2 kg. Comprueba que el periodo se duplica.
  </Step>

  <Step title="Los desfases">
    Activa a la vez $x(t)$, $v(t)$ y $a(t)$. ¿Dónde es nula la velocidad? ¿Dónde es máxima la aceleración?
  </Step>

  <Step title="El péndulo con ángulos grandes">
    En el péndulo, compara el periodo real con el de la fórmula para 10°, 30° y 60°.
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Usar la calculadora en grados** con $\sin(\omega t + \varphi_0)$: la fase está en radianes.
* **Pensar que el periodo del péndulo depende de la masa.**
* **Confundir $\omega$ con $f$**: $\omega = 2\pi f$.
* **Decir que en el extremo la aceleración es cero** porque la velocidad lo es. Es justo al revés.
* **Olvidar el signo negativo** de $a = -\omega^2 x$.

## Preguntas frecuentes

<AccordionGroup>
  <Accordion title="¿Por qué hay tantos sistemas que hacen un MAS?">
    Porque cerca de un mínimo de energía potencial cualquier fuerza se parece a $-kx$. Para oscilaciones pequeñas, casi todo vibra como un MAS: moléculas, puentes, circuitos eléctricos.
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Es lo mismo pulsación que frecuencia?">
    No. La frecuencia $f$ son oscilaciones por segundo (Hz); la pulsación $\omega = 2\pi f$ es la velocidad angular equivalente, en rad/s.
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Qué pasa en la realidad, con rozamiento?">
    La amplitud va disminuyendo poco a poco: es un oscilador **amortiguado**. El MAS es el caso ideal sin pérdidas.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Simuladores relacionados

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Péndulos acoplados" icon="link" href="/fisica/oscilaciones/pendulos-acoplados">
    Dos osciladores que se pasan la energía.
  </Card>

  <Card title="Ondas e interferencia" icon="wave-square" href="/fisica/ondas/ondas">
    Un MAS que se propaga por el espacio.
  </Card>

  <Card title="Movimiento circular" icon="rotate" href="/fisica/cinematica/movimiento-circular">
    El MAS como proyección de un MCU.
  </Card>
</CardGroup>


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