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# Péndulos acoplados: modos normales y pulsaciones

> Dos péndulos unidos por un muelle: modos normales en fase y en oposición, sus frecuencias, las pulsaciones y cómo la energía pasa de un péndulo a otro. Con ejemplos resueltos.

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/fisica/pendulos-acoplados">
  Dos péndulos unidos por un muelle: modos normales, pulsaciones y la energía pasando de uno a otro.
</Card>

Si unes dos péndulos iguales con un muelle débil, separas solo uno y lo sueltas, ocurre algo sorprendente: poco a poco el primero se va parando mientras el segundo empieza a oscilar, hasta que toda la energía ha pasado al segundo. Luego vuelve. Es el ejemplo más sencillo de **osciladores acoplados**, y su explicación, los **modos normales**, es una de las ideas más útiles de la física: aparece en moléculas, cristales, edificios, circuitos e instrumentos musicales.

## Lo que vas a aprender

* Qué es un modo normal y cuáles son los dos modos de dos péndulos acoplados.
* Calcular las frecuencias de los modos en fase y en oposición.
* Por qué al excitar un solo péndulo aparecen pulsaciones.
* Calcular el tiempo que tarda la energía en pasar de un péndulo al otro.

## Cómo se usa el simulador

| Control | Qué hace | Rango |
| - | - | - |
| **Montaje** | Cómo empiezan: solo el primero, en fase o en oposición | — |
| **Amplitud inicial** | Ángulo con el que se sueltan | 2° – 15° |
| **L · longitud** | Longitud de los dos péndulos | 0,3 – 2 m |
| **k · constante del muelle** | Rigidez del muelle que los une | 0,05 – 5 N/m |

* Dos barras muestran el **porcentaje de energía** de cada péndulo en cada instante.
* La gráfica **Ángulos en el tiempo** dibuja el péndulo 1 arriba y el 2 abajo.
* El panel da el periodo de cada modo, el **periodo de pulsación** y el tiempo que tarda en pasar toda la energía.

## Fundamentos teóricos

### El sistema

Dos péndulos iguales de longitud $L$ y masa $m$ están unidos por un muelle de constante $k$. Para ángulos pequeños, cada péndulo siente su propia fuerza recuperadora (la gravedad) y la del muelle, que depende de la **diferencia** entre sus posiciones. Por eso el movimiento de uno afecta al otro: están **acoplados**.

### Los modos normales

Un **modo normal** es una forma de oscilar en la que todas las partes se mueven con **la misma frecuencia** y una relación de fase fija. Si el sistema empieza en un modo normal, se queda en él para siempre.

**Modo en fase.** Los dos péndulos se mueven juntos, a la vez y hacia el mismo lado. El muelle no se estira, así que es como si no existiera:

$$
\omega_1 = \sqrt{\frac{g}{L}}
$$

**Modo en oposición.** Se mueven en sentidos contrarios. El muelle se estira y se comprime el doble de lo que se desplaza cada péndulo, y añade fuerza recuperadora:

$$
\omega_2 = \sqrt{\frac{g}{L} + \frac{2k}{m}}
$$

El modo en oposición siempre es **más rápido**.

### Cualquier movimiento es una mezcla de modos

Cualquier movimiento del sistema es una **superposición** de los dos modos normales. Si sueltas solo el primero con amplitud $\theta_0$:

$$
\theta_1(t) = \theta_0\cos\!\left(\frac{\omega_2 - \omega_1}{2}\,t\right)\cos\!\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}\,t\right)
$$

$$
\theta_2(t) = \theta_0\sin\!\left(\frac{\omega_2 - \omega_1}{2}\,t\right)\sin\!\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}\,t\right)
$$

Cada péndulo oscila rápido, a la frecuencia media, con una **amplitud que varía lentamente**: son **pulsaciones**, como las que se oyen al tocar dos notas de frecuencias muy parecidas.

### El periodo de las pulsaciones

La energía va y vuelve de un péndulo al otro con periodo:

$$
T_{\text{puls}} = \frac{2\pi}{\omega_2 - \omega_1}
$$

y pasa **entera** de uno al otro en la mitad de ese tiempo. Cuanto más débil es el muelle, más parecidas son las frecuencias y **más lento** es el intercambio.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Frecuencias de los modos" defaultOpen>
    Dos péndulos de 1 m y 0,5 kg están unidos por un muelle de $k = 0{,}4$ N/m. Calcula las frecuencias angulares de los modos y el periodo de las pulsaciones.

    **En fase:** $\omega_1 = \sqrt{9{,}81} = 3{,}132$ rad/s ($T = 2{,}01$ s).

    **En oposición:** $\omega_2 = \sqrt{9{,}81 + 2 \cdot 0{,}4/0{,}5} = \sqrt{11{,}41} = 3{,}378$ rad/s ($T = 1{,}86$ s).

    **Pulsaciones:** $T_{\text{puls}} = 2\pi/0{,}246 = 25{,}6$ s. La energía pasa entera al segundo péndulo en unos 12,8 s.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Con un muelle más débil">
    Si el muelle tiene la mitad de rigidez, $k = 0{,}2$ N/m, ¿cuánto tarda el intercambio?

    $\omega_2 = \sqrt{9{,}81 + 0{,}8} = 3{,}257$ rad/s; $\omega_2 - \omega_1 = 0{,}125$ rad/s.

    $T_{\text{puls}} = 2\pi/0{,}125 = 50{,}2$ s: aproximadamente el doble.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="Los dos modos">
    Elige "En fase" y luego "En oposición". ¿Cambian las barras de energía? ¿Cuál de los dos modos tiene el periodo más corto?
  </Step>

  <Step title="Pulsaciones">
    Elige "Solo el primero" y cronometra el tiempo hasta que el primer péndulo se para. Compáralo con el que da el panel.
  </Step>

  <Step title="Muelle más flojo, intercambio más lento">
    Baja $k$ y comprueba que el periodo de pulsación crece. ¿Qué pasa si subes mucho $k$?
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Pensar que en el modo en fase el muelle influye.** No se estira, así que la frecuencia es la del péndulo solo.
* **Olvidar el factor 2** en $2k/m$: el muelle se deforma por el movimiento de los dos péndulos.
* **Confundir el periodo de pulsación con el de transferencia completa**, que es la mitad.

## Preguntas frecuentes

<AccordionGroup>
  <Accordion title="¿Dónde aparecen osciladores acoplados?">
    En las moléculas (sus modos de vibración se ven en espectroscopia), en los cristales (los fonones), en edificios y puentes, en circuitos acoplados y en las cuerdas de un piano que suenan juntas.
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Cuántos modos tiene un sistema?">
    Tantos como grados de libertad. Dos péndulos, dos modos; una cuerda con $N$ masas, $N$ modos; una cuerda continua, infinitos (sus armónicos).
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Vale para ángulos grandes?">
    Las fórmulas suponen ángulos pequeños, hasta unos 15°. Con más amplitud el intercambio de energía deja de ser perfecto.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Simuladores relacionados

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Movimiento armónico simple" icon="wave-square" href="/fisica/oscilaciones/movimiento-armonico">
    Un solo oscilador.
  </Card>

  <Card title="Amortiguador de masa" icon="building" href="/fisica/oscilaciones/amortiguador-masa">
    Osciladores acoplados que salvan rascacielos.
  </Card>

  <Card title="Péndulo doble" icon="shuffle" href="/fisica/oscilaciones/pendulo-doble">
    Dos péndulos acoplados con ángulos grandes: caos.
  </Card>
</CardGroup>


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