> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Relatividad especial: dilatación del tiempo, contracción de longitudes y E = mc² > La relatividad especial de Einstein explicada: postulados, factor de Lorentz, dilatación del tiempo, contracción de longitudes, relatividad de la simultaneidad, transformaciones de Lorentz, suma de velocidades, paradoja de los gemelos, momento y energía relativistas y E = mc², con ejemplos resueltos. En 1905, Albert Einstein partió de dos ideas sencillas, que las leyes de la física son iguales para todos los observadores que se mueven a velocidad constante y que la luz va siempre a la misma velocidad, y llegó a conclusiones asombrosas: los relojes en movimiento atrasan, los objetos en movimiento se acortan y la masa es una forma de energía. No es una curiosidad teórica: el GPS tiene que corregir estos efectos para no equivocarse kilómetros cada día, y $E = mc^2$ explica la energía de las estrellas y de las centrales nucleares. ## Lo que vas a aprender * Los dos postulados de la relatividad especial. * El factor de Lorentz y cuándo los efectos se notan. * La dilatación del tiempo y la contracción de longitudes. * La relatividad de la simultaneidad y las transformaciones de Lorentz. * La suma relativista de velocidades. * El momento, la energía relativista y $E = mc^2$. ## Fundamentos teóricos ### Los postulados 1. **Principio de relatividad:** las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales (que se mueven a velocidad constante entre sí). 2. **Constancia de la velocidad de la luz:** la luz en el vacío va a $c = 299\,792\,458$ m/s para cualquier observador, se mueva como se mueva la fuente. El segundo choca con la intuición: si corres a media velocidad de la luz detrás de un rayo de luz, lo sigues viendo alejarse a $c$. Para que eso sea posible, el tiempo y el espacio tienen que depender del observador. ### El factor de Lorentz $$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \ge 1 $$ | $v$ | $\gamma$ | | - | - | | 300 m/s (avión) | $1 + 5\cdot10^{-13}$ | | 0,1 $c$ | 1,005 | | 0,5 $c$ | 1,155 | | 0,8 $c$ | 1,667 | | 0,9 $c$ | 2,294 | | 0,99 $c$ | 7,09 | | 0,999 $c$ | 22,4 | A velocidades cotidianas $\gamma \approx 1$ y se recupera la física de Newton. ### Dilatación del tiempo Un reloj que se mueve respecto de un observador marca menos tiempo que los relojes de ese observador: $$ \Delta t = \gamma\,\Delta t_0 $$ $\Delta t_0$ es el **tiempo propio**, medido por un reloj que está en reposo respecto del suceso (que va con él). ### Contracción de longitudes Un objeto que se mueve se mide **más corto** en la dirección del movimiento: $$ L = \frac{L_0}{\gamma} $$ $L_0$ es la **longitud propia**, medida en reposo respecto del objeto. Las dimensiones perpendiculares no cambian. ### Relatividad de la simultaneidad Dos sucesos simultáneos para un observador **no lo son** para otro que se mueve respecto de él (si ocurren en lugares distintos). No hay un "ahora" universal. ### Transformaciones de Lorentz Para un sistema $S'$ que se mueve con velocidad $v$ a lo largo del eje $x$ de $S$: $$ x' = \gamma\,(x - v\,t) \qquad t' = \gamma\left(t - \frac{v\,x}{c^2}\right) \qquad y' = y \qquad z' = z $$ Sustituyen a las de Galileo ($x' = x - vt$, $t' = t$) y contienen la dilatación, la contracción y la simultaneidad. ### Suma de velocidades Si en $S'$ un objeto va a $u'$, en $S$ va a $$ u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^2}} $$ Por mucho que se sumen velocidades, nunca se supera $c$. Con $u' = c$ sale $u = c$, como exige el segundo postulado. ### Momento y energía $$ p = \gamma\,m\,v \qquad E = \gamma\,m\,c^2 \qquad E_c = (\gamma - 1)\,m\,c^2 $$ En reposo queda la **energía en reposo**: $$ E_0 = m\,c^2 $$ Y la relación general entre energía y momento: $$ E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 $$ Para partículas sin masa, como los fotones, $E = pc$. Para acelerar algo con masa hasta $c$ haría falta energía infinita. ### Equivalencia masa-energía La masa es una forma de energía. En las reacciones nucleares, los productos tienen un poco menos de masa que los reactivos (el **defecto de masa**), y esa diferencia se libera como energía: $\Delta E = \Delta m\,c^2$. ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Muones que llegan al suelo > > Los muones se crean a unos 15 km de altura y viven, en reposo, 2,2 µs. A $0{,}999c$, sin relatividad recorrerían solo $0{,}999\cdot3\cdot10^8\cdot2{,}2\cdot10^{-6} = 659$ m. > > Con $\gamma = 22{,}4$, vistos desde el suelo viven $49$ µs y recorren unos 14,8 km: muchos llegan a la superficie, como se observa. Desde el muon, lo que ocurre es que la atmósfera se contrae a $15/22{,}4 = 0{,}67$ km. > [accordion] Ejemplo 2 · Paradoja de los gemelos > > Una astronauta viaja a $0{,}8c$ a una estrella a 4 años luz y vuelve. Para su gemelo en la Tierra pasan $\frac{8}{0{,}8} = 10$ años. > > Para ella, con $\gamma = 1{,}667$: $10/1{,}667 = 6$ años. Vuelve 4 años más joven. No es simétrico porque ella cambia de sistema de referencia al dar la vuelta (acelera); su hermano no. > [accordion] Ejemplo 3 · Contracción de una nave > > Una nave de 100 m pasa a $0{,}6c$ ($\gamma = 1{,}25$). Desde la Tierra mide $100/1{,}25 = 80$ m. > [accordion] Ejemplo 4 · Suma de velocidades > > Una nave a $0{,}8c$ dispara un proyectil hacia delante a $0{,}5c$ respecto de ella. Desde la Tierra: > > $u = \frac{0{,}8 + 0{,}5}{1 + 0{,}4}c = 0{,}929c$, no $1{,}3c$. > [accordion] Ejemplo 5 · Energía de 1 gramo > > $E = 10^{-3}\cdot(3\cdot10^8)^2 = 9\cdot10^{13}$ J, la energía que libera una explosión de unas 21 kilotoneladas de TNT, parecida a la bomba de Nagasaki. > [accordion] Ejemplo 6 · El GPS > > Los satélites van a unos 3,9 km/s: su reloj atrasa unos 7 µs al día por la relatividad especial. Por estar más lejos de la Tierra (relatividad general) adelanta unos 45 µs. En total, adelanta unos 38 µs al día. > > Como las señales van a la velocidad de la luz, 38 µs equivalen a $3\cdot10^8\cdot38\cdot10^{-6} \approx 11$ km de error diario si no se corrigiera. ## Errores frecuentes * **Confundir el tiempo propio con el dilatado.** El propio, $\Delta t_0$, es siempre el **menor**, el del reloj que va con el suceso. * **Contraer las dimensiones perpendiculares** al movimiento. Solo se contrae la longitud paralela. * **Sumar velocidades como en Galileo** cerca de $c$. * **Usar $E_c = \frac12mv^2$ a velocidades relativistas.** Es $(\gamma - 1)mc^2$, que se reduce a $\frac12mv^2$ cuando $v \ll c$. * **Pensar que es una ilusión.** Los efectos son reales y se miden: relojes atómicos en aviones, partículas en aceleradores, GPS. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Se puede viajar más rápido que la luz? > > Ningún objeto con masa puede alcanzar $c$, porque su energía crecería sin límite. Y ninguna señal puede ir más rápido que la luz sin romper la causalidad (habría observadores para los que el efecto llegaría antes que la causa). > [accordion] ¿Qué es la relatividad general? > > La extensión de Einstein de 1915 para incluir la gravedad: la masa curva el espacio-tiempo y los cuerpos siguen esa curvatura. Predice que el tiempo pasa más despacio cerca de una masa grande, la desviación de la luz por el Sol, los agujeros negros y las ondas gravitacionales. La [gravitación de Newton](https://apuntes.simulab.es/fisica/gravitacion/gravitacion.md) es su aproximación para campos débiles. ## Temas relacionados > [card] [Ondas electromagnéticas](https://apuntes.simulab.es/fisica/electromagnetismo/ondas-electromagneticas.md) > > La luz y su velocidad. > [card] [Gravitación y órbitas](https://apuntes.simulab.es/fisica/gravitacion/gravitacion.md) > > Satélites y gravedad. > [card] [Interferómetro de Michelson](https://apuntes.simulab.es/fisica/optica/interferometro-michelson.md) > > El experimento que no encontró el éter. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.