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# Autovalores y autovectores: polinomio característico y diagonalización

> Autovalores y autovectores explicados: polinomio característico, cálculo paso a paso, multiplicidad algebraica y geométrica, diagonalización, potencias de una matriz, matrices simétricas y aplicaciones a sistemas de EDO y cadenas de Markov, con ejemplos resueltos.

Una matriz transforma casi todos los vectores girándolos y estirándolos a la vez. Pero hay unas direcciones especiales que **no giran**: los vectores en ellas solo se estiran o encogen. Son los **autovectores**, y el factor de estiramiento es su **autovalor**. Conocerlos permite escribir la matriz en su forma más simple, calcular potencias de forma inmediata y entender la estabilidad de sistemas dinámicos, las vibraciones de una estructura o el algoritmo PageRank de Google.

## Lo que vas a aprender

* Qué son un autovalor y un autovector, y su significado geométrico.
* Cómo calcularlos con el polinomio característico.
* Cuándo una matriz es diagonalizable y cómo diagonalizarla.
* Cómo calcular potencias de una matriz con la diagonalización.
* Por qué las matrices simétricas son especiales.

## Fundamentos teóricos

### Definición

$\lambda$ es un **autovalor** de la matriz cuadrada $A$ si existe un vector $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ con

$$
A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}
$$

$\mathbf{v}$ es un **autovector** asociado a $\lambda$. Cualquier múltiplo no nulo de $\mathbf{v}$ también lo es: lo que importa es la **dirección**.

### Polinomio característico

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ equivale a $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$, que tiene solución no nula solo si

$$
\det(A - \lambda I) = 0
$$

Es la **ecuación característica**. Sus raíces son los autovalores. Para cada uno, los autovectores son las soluciones no nulas del sistema homogéneo $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$.

Para una matriz $2\times2$ hay un atajo:

$$
\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\,\lambda + \det(A) = 0
$$

### Traza y determinante

Para cualquier matriz $n\times n$, con sus $n$ autovalores contados con multiplicidad:

$$
\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr}(A) \qquad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det(A)
$$

Así se comprueba un cálculo en segundos. Además, $A$ es invertible si y solo si 0 no es autovalor.

### Multiplicidades

* **Algebraica**: cuántas veces es raíz $\lambda$ del polinomio característico.
* **Geométrica**: dimensión del subespacio de autovectores, $\dim\ker(A - \lambda I) = n - \operatorname{rg}(A - \lambda I)$.

Siempre $1 \le$ geométrica $\le$ algebraica.

### Diagonalización

$A$ es **diagonalizable** si existe una matriz invertible $P$ con

$$
A = P\,D\,P^{-1}
$$

donde $D$ es diagonal con los autovalores y las columnas de $P$ son los autovectores, en el mismo orden. Es posible si y solo si:

* $A$ tiene $n$ autovectores linealmente independientes, o, lo que es igual,
* para cada autovalor, multiplicidad geométrica = algebraica.

Basta con que los $n$ autovalores sean **distintos**.

### Potencias de una matriz

$$
A^k = P\,D^k\,P^{-1} \qquad D^k = \operatorname{diag}(\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k)
$$

En lugar de $k$ productos de matrices, se elevan $n$ números. Igual con cualquier función: $e^{A} = P\,e^{D}P^{-1}$.

### Matrices simétricas: teorema espectral

Si $A = A^T$ (real):

* Todos los autovalores son **reales**.
* Autovectores de autovalores distintos son **ortogonales**.
* Siempre es diagonalizable, con $P$ ortogonal: $A = Q D Q^T$.

Es el caso de las matrices de inercia, las de covarianza y las hessianas.

### Para qué sirven

| Aplicación | Qué dicen los autovalores |
| - | - |
| Sistemas de EDO $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ | Soluciones $e^{\lambda t}\mathbf{v}$; estable si todos tienen parte real negativa |
| Vibraciones | Frecuencias propias; los autovectores son los **modos** |
| Cadenas de Markov | El autovector de $\lambda = 1$ es la distribución estacionaria |
| Hessiana | Signo de los autovalores: máximo, mínimo o silla |
| Análisis de componentes principales | Direcciones de máxima varianza de los datos |

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Autovalores y autovectores 2×2
>
> $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$. Traza 7, determinante 10.
>
> $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 5$, $\lambda_2 = 2$. Comprobación: $5 + 2 = 7$, $5\cdot2 = 10$.
>
> Para $\lambda = 5$: $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{v}_1 = (1, 1)$.
>
> Para $\lambda = 2$: $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{v}_2 = (1, -2)$.

> [accordion] Ejemplo 2 · Diagonalizar y calcular A¹⁰
>
> Con la matriz anterior: $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, $P^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.
>
> $A^{10} = P\begin{pmatrix} 5^{10} & 0 \\ 0 & 2^{10}\end{pmatrix}P^{-1} = \frac13\begin{pmatrix} 2\cdot5^{10} + 2^{10} & 5^{10} - 2^{10} \\ 2\cdot5^{10} - 2^{11} & 5^{10} + 2^{11}\end{pmatrix}$.
>
> Con $5^{10} = 9\,765\,625$: el primer elemento es $\frac{19\,532\,274}{3} = 6\,510\,758$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Una matriz que no se puede diagonalizar
>
> $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Autovalor $\lambda = 2$ doble (multiplicidad algebraica 2).
>
> $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ tiene rango 1, así que la multiplicidad geométrica es $2 - 1 = 1$. Solo hay una dirección propia, $(1, 0)$: **no es diagonalizable**. Es una cizalla.

> [accordion] Ejemplo 4 · Autovalores complejos
>
> La rotación de 90°, $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$: $\lambda^2 + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm i$.
>
> No hay autovalores reales porque una rotación no deja ninguna dirección real fija. En un sistema $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$, los autovalores imaginarios puros dan **oscilaciones** sin amortiguar.

> [accordion] Ejemplo 5 · Matriz 3×3 triangular
>
> $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$. En una matriz triangular, los autovalores son los elementos de la diagonal: 1, 4 y 6. Son distintos, así que es diagonalizable.

> [accordion] Ejemplo 6 · Cadena de Markov
>
> Un día soleado va seguido de otro soleado con probabilidad 0,9; uno lluvioso, de otro lluvioso con probabilidad 0,5. Matriz de transición (por columnas): $M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}5 \\ 0{,}1 & 0{,}5 \end{pmatrix}$.
>
> Autovalores: 1 y 0,4. Para $\lambda = 1$: $(M - I)\mathbf{v} = 0 \Rightarrow -0{,}1v_1 + 0{,}5v_2 = 0 \Rightarrow \mathbf{v} = (5, 1)$.
>
> Normalizado: a la larga, $\frac56 \approx 83\,\%$ de días soleados. El autovalor 0,4 dice lo rápido que se olvida el día inicial.

## Errores frecuentes

* **Aceptar $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ como autovector.** Por definición, un autovector es no nulo.
* **Pensar que toda matriz es diagonalizable.** Con autovalores repetidos hay que comprobar la multiplicidad geométrica.
* **Desordenar $P$ y $D$.** La columna $i$ de $P$ debe ser el autovector del autovalor $i$ de $D$.
* **Calcular autovalores reduciendo por filas.** Las operaciones de fila cambian los autovalores; hay que resolver $\det(A - \lambda I) = 0$ con la matriz original.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Cómo se calculan los autovalores de matrices grandes?
>
> No con el polinomio característico, que es numéricamente inestable. Se usa el **algoritmo QR**, que factoriza e itera hasta que la matriz se vuelve casi triangular; o el **método de la potencia**, que multiplica un vector por $A$ una y otra vez hasta que se alinea con el autovector dominante. Así calcula Google el PageRank.

> [accordion] ¿Qué hago si no es diagonalizable?
>
> Se usa la **forma canónica de Jordan**: casi diagonal, con algunos unos encima de la diagonal. Para potencias y exponenciales sigue funcionando, con términos extra del tipo $t\,e^{\lambda t}$.

## Temas relacionados

> [card] [Matrices como transformaciones](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/matrices.md)
>
> Ve los autovectores en el simulador.

> [card] [Espacios vectoriales](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/espacios-vectoriales.md)
>
> Base, rango y núcleo.

> [card] [Péndulos acoplados](https://apuntes.simulab.es/fisica/oscilaciones/pendulos-acoplados.md)
>
> Modos normales como autovectores.


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