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# Calculadora de matrices: determinante, inversa, rango y Gauss paso a paso

> Opera con matrices paso a paso: suma, producto, traspuesta, determinante por Sarrus, inversa por Gauss-Jordan, rango y forma escalonada, con fracciones exactas y ejemplos resueltos.

<Card title="Abrir la calculadora" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/calculadora-matrices">
  Operaciones, determinante, inversa, rango y Gauss, con cada operación entre filas y fracciones exactas.
</Card>

Las matrices organizan números en filas y columnas y permiten resolver sistemas de ecuaciones, describir transformaciones geométricas y manejar grandes cantidades de datos. Esta calculadora hace las operaciones de clase **mostrando cada paso** y con **fracciones exactas**, para que puedas comprobar tus cuentas.

## Lo que vas a aprender

* Sumar, multiplicar y trasponer matrices.
* Calcular determinantes de 2×2, 3×3 (Sarrus) y mayores (Gauss).
* Calcular la inversa con Gauss-Jordan.
* Calcular el rango y escalonar una matriz.

## Cómo se usa la calculadora

1. Elige la operación: **A + B**, **A − B**, **A · B**, **k · A**, **Aᵗ**, **|A|**, **A⁻¹**, **Rango** o **Gauss**.
2. Ajusta el número de **filas** y **columnas** con − y +, y escribe los elementos. Admite fracciones (`1/2`) y decimales con coma o punto.
3. Obtienes el resultado y el **paso a paso** con cada operación entre filas.

## Fundamentos teóricos

### Operaciones básicas

* **Suma y resta**: elemento a elemento. Solo entre matrices del mismo tamaño.
* **Producto por un número**: se multiplica cada elemento.
* **Producto de matrices**: el elemento $(i, j)$ de $AB$ es la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$. Solo si las **columnas de A** coinciden con las **filas de B**. En general, $AB \ne BA$.
* **Traspuesta** $A^t$: se cambian filas por columnas.

### Determinantes

$$
\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
$$

**Regla de Sarrus** (3×3): se suman los productos de la diagonal principal y sus dos "triángulos" paralelos, y se restan los de la otra diagonal y los suyos.

Para matrices mayores, se **triangula** con Gauss: el determinante es el producto de la diagonal (cambiando el signo por cada intercambio de filas).

### Propiedades útiles del determinante

* Si dos filas son iguales o proporcionales, $|A| = 0$.
* Intercambiar dos filas cambia el signo.
* Sumar a una fila un múltiplo de otra **no lo cambia**.
* $|AB| = |A|\,|B|$.

### Matriz inversa

$A^{-1}$ cumple $A\,A^{-1} = I$. **Existe solo si $|A| \ne 0$**.

**Gauss-Jordan**: se escribe $(A \mid I)$ y se hacen operaciones entre filas hasta convertir la parte izquierda en $I$. Lo que queda a la derecha es $A^{-1}$.

Para 2×2: $A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

### Rango

El número de filas (o columnas) **linealmente independientes**. Se calcula escalonando con Gauss y contando las filas que no quedan a cero. Es la clave del **teorema de Rouché-Frobenius** para discutir sistemas.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Determinante por Sarrus" defaultOpen>
    $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

    $|A| = (0 + 4 + 0) - (-3 + 16 + 0) = 4 - 13 = -9$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Inversa 2×2">
    $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$: $|A| = -2$.

    $A^{-1} = \dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Sistema por Gauss">
    $x + y + z = 6$; $2x - y + z = 3$; $x + 2y - z = 2$.

    $F_2 - 2F_1$: $-3y - z = -9$. $F_3 - F_1$: $y - 2z = -4$. Despejando: $z = 3$, $y = 2$, $x = 1$. El determinante del sistema es 7 ≠ 0: compatible determinado.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Multiplicar matrices elemento a elemento.**
* **Suponer que $AB = BA$.**
* **Olvidar el signo** al intercambiar filas en un determinante.
* **Intentar invertir** una matriz con determinante 0.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Matrices como transformaciones" icon="vector-square" href="/matematicas/algebra-lineal/matrices">
    Qué hace una matriz al plano.
  </Card>

  <Card title="Sistemas de ecuaciones 2×2" icon="calculator" href="/matematicas/algebra/sistemas-ecuaciones">
    La regla de Cramer.
  </Card>

  <Card title="Calculadora de vectores" icon="calculator" href="/matematicas/algebra-lineal/vectores">
    Producto vectorial como determinante.
  </Card>
</CardGroup>


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