> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Determinantes: cálculo, propiedades, Sarrus, Laplace y regla de Cramer > Determinantes explicados: determinante 2×2 y 3×3, regla de Sarrus, desarrollo por adjuntos (Laplace), propiedades, cálculo por triangulación, significado geométrico como área y volumen, matriz inversa con la adjunta, rango por menores y regla de Cramer, con ejemplos resueltos. El **determinante** es un número que se asocia a cada matriz cuadrada y que resume información fundamental: si la matriz tiene inversa, si un sistema de ecuaciones tiene solución única y cuánto cambia el área o el volumen al aplicar la transformación. Se calcula con reglas sencillas para $2\times2$ y $3\times3$, y con sus propiedades para matrices mayores. ## Lo que vas a aprender * Cómo calcular determinantes de orden 2 y 3 (regla de Sarrus). * El desarrollo por adjuntos para cualquier orden. * Las propiedades que permiten simplificar el cálculo. * El significado geométrico: área, volumen y orientación. * Cómo calcular la inversa con la adjunta y el rango por menores. * La regla de Cramer para resolver sistemas. ## Fundamentos teóricos ### Orden 2 $$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$ ### Orden 3: regla de Sarrus $$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi $$ Los tres primeros productos siguen la diagonal principal y sus paralelas; los tres últimos, la diagonal secundaria. **Solo vale para orden 3.** ### Desarrollo por adjuntos (Laplace) El **menor** $M_{ij}$ es el determinante que queda al quitar la fila $i$ y la columna $j$. El **adjunto** es $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$. Desarrollando por cualquier fila $i$: $$ \det A = \sum_{j} a_{ij}\,A_{ij} $$ (o por cualquier columna). Los signos siguen un tablero de ajedrez que empieza por $+$. Conviene elegir la fila o columna con **más ceros**. ### Propiedades | Propiedad | Efecto | | - | - | | $\det(A^T) = \det A$ | Lo que vale para filas vale para columnas | | Intercambiar dos filas | Cambia el signo | | Multiplicar una fila por $k$ | Multiplica el determinante por $k$ | | Sumar a una fila un múltiplo de otra | **No cambia** el determinante | | Dos filas iguales o proporcionales | Determinante 0 | | Una fila de ceros | Determinante 0 | | Matriz triangular | Producto de la diagonal | | $\det(AB) = \det A\cdot\det B$ | | | $\det(kA) = k^n\det A$ (orden $n$) | | | $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$ | | **Método práctico para orden 4 o más:** hacer ceros en una columna con la propiedad de "sumar un múltiplo de otra fila" y desarrollar por esa columna. O triangular por completo y multiplicar la diagonal. ### Significado geométrico * En el plano, $|\det A|$ es el **área** del paralelogramo que forman las columnas. * En el espacio, el **volumen** del paralelepípedo. * El **signo** indica si la transformación conserva la orientación ($+$) o la invierte, como un espejo ($-$). * $\det A = 0$: la transformación "aplasta" el espacio a una dimensión menor. Puedes verlo en el simulador de [matrices como transformaciones](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/matrices.md). ### Inversa con la adjunta $A$ tiene inversa si y solo si $\det A \ne 0$, y entonces $$ A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{Adj}(A)^T $$ donde $\operatorname{Adj}(A)$ es la matriz de los adjuntos. Para $2\times2$: $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$. ### Rango por menores El rango es el orden del **mayor menor no nulo**. Se busca un menor de orden 2 distinto de 0 y se "orla" (se le añade una fila y una columna) buscando uno de orden 3 no nulo, y así sucesivamente. ### Regla de Cramer Si $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ es un sistema de $n$ ecuaciones y $n$ incógnitas con $\det A \ne 0$: $$ x_i = \frac{\det A_i}{\det A} $$ donde $A_i$ es $A$ con la columna $i$ sustituida por $\mathbf{b}$. Es cómoda para 2 o 3 incógnitas; para sistemas grandes se usa [eliminación de Gauss](https://apuntes.simulab.es/matematicas/metodos-numericos/sistemas-lineales.md). ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Sarrus > > $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$ > > Positivos: $2(-1)(0) + 1\cdot4\cdot1 + 3\cdot0\cdot2 = 4$. > > Negativos: $3(-1)(1) + 2\cdot4\cdot2 + 1\cdot0\cdot0 = -3 + 16 = 13$. > > $\det = 4 - 13 = -9$. > [accordion] Ejemplo 2 · El mismo por adjuntos > > Desarrollando por la primera columna (tiene un 0): > > $2\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 0\end{vmatrix} - 0 + 1\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 4\end{vmatrix} = 2(0 - 8) + (4 + 3) = -16 + 7 = -9$. ✓ > [accordion] Ejemplo 3 · Orden 4 haciendo ceros > > $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$ > > $F_2 - 2F_1$ y $F_4 - F_1$: $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$. > > Por la primera columna: $1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix} = (2 + 0 + 1) - (0 + 1 + 1) = 1$. > [accordion] Ejemplo 4 · Determinante con parámetro > > ¿Para qué valores de $k$ es invertible $\begin{pmatrix} k & 1 \\ 4 & k \end{pmatrix}$? > > $\det = k^2 - 4 = 0 \Rightarrow k = \pm2$. Es invertible para todo $k \ne \pm2$. > [accordion] Ejemplo 5 · Inversa por adjuntos > > $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$, $\det A = 1$. $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$. > > Comprobación: $AA^{-1} = \begin{pmatrix} 6 - 5 & -2 + 2 \\ 15 - 15 & -5 + 6\end{pmatrix} = I$. > [accordion] Ejemplo 6 · Regla de Cramer > > $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = -1 \end{cases}$. $\det A = -6 - 1 = -7$. > > $x = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -1 & -3\end{vmatrix}}{-7} = \frac{-14}{-7} = 2$. $y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -1\end{vmatrix}}{-7} = \frac{-7}{-7} = 1$. > [accordion] Ejemplo 7 · Área de un triángulo > > Triángulo de vértices $(0, 0)$, $(4, 1)$ y $(1, 3)$: > > Área $= \frac12\left|\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3\end{vmatrix}\right| = \frac12|12 - 1| = 5{,}5$. ## Errores frecuentes * **Usar Sarrus en orden 4.** Solo vale para $3\times3$. * **Olvidar los signos de los adjuntos** $(-1)^{i+j}$. * **Pensar que $\det(A + B) = \det A + \det B$.** Es falso; solo se cumple con el producto. * **Sacar factor común de toda la matriz como si fuera una fila.** $\det(2A) = 2^n\det A$, no $2\det A$. * **Olvidar trasponer la adjunta** al calcular la inversa. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Para qué sirve saber si el determinante es cero? > > Es la prueba rápida de casi todo: si $\det A \ne 0$, la matriz es invertible, sus columnas son linealmente independientes, el sistema $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ tiene solución única y 0 no es [autovalor](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/autovalores.md). Si $\det A = 0$, todo lo contrario. > [accordion] ¿Cómo lo calculan los ordenadores? > > Factorizando $A = LU$ y multiplicando la diagonal de $U$ (cambiando el signo por cada intercambio de filas). Cuesta unas $n^3/3$ operaciones; el desarrollo por adjuntos, $n!$, que para $n = 20$ ya son más de $10^{18}$. ## Temas relacionados > [card] [Calculadora de matrices](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/calculadora-matrices.md) > > Determinante, inversa y rango paso a paso. > [card] [Matrices como transformaciones](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/matrices.md) > > El determinante como factor de área. > [card] [Espacios vectoriales](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/espacios-vectoriales.md) > > Rango y Rouché-Frobenius. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.