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# Espacios vectoriales: base, dimensión, rango, núcleo e imagen

> Espacios y subespacios vectoriales explicados: combinación lineal, independencia lineal, sistema generador, base y dimensión, coordenadas y cambio de base, rango de una matriz, núcleo e imagen de una aplicación lineal y teorema de la dimensión, con ejemplos resueltos.

Los vectores del plano, los polinomios, las matrices o las señales de audio parecen objetos muy distintos, pero todos se pueden **sumar** y **multiplicar por números** con las mismas reglas. Un **espacio vectorial** es cualquier conjunto con esas dos operaciones. Estudiarlos en abstracto da un lenguaje común (base, dimensión, rango, núcleo) que sirve igual para resolver sistemas de ecuaciones, comprimir imágenes o describir los estados de un sistema cuántico.

## Lo que vas a aprender

* Qué es un espacio vectorial y cómo reconocer un subespacio.
* Combinación lineal, independencia lineal y sistema generador.
* Qué son una base y la dimensión, y cómo se cambia de base.
* El rango de una matriz y el teorema de Rouché-Frobenius.
* Núcleo e imagen de una aplicación lineal y el teorema de la dimensión.

## Fundamentos teóricos

### Espacio vectorial

Un conjunto $V$ con una suma y un producto por escalares que cumplen las propiedades habituales (asociativa, conmutativa, existe el $\mathbf{0}$, existe el opuesto, distributivas…). Ejemplos:

| Espacio | Elementos | Dimensión |
| - | - | - |
| $\mathbb{R}^n$ | Vectores $(x_1, \dots, x_n)$ | $n$ |
| $P_n$ | Polinomios de grado $\le n$ | $n + 1$ |
| $M_{m\times n}$ | Matrices $m\times n$ | $mn$ |
| $C[a, b]$ | Funciones continuas en $[a, b]$ | Infinita |

### Subespacio

$W \subseteq V$ es un **subespacio** si es cerrado para las dos operaciones. Basta comprobar:

1. $\mathbf{0} \in W$.
2. Si $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W$ y $\alpha, \beta$ son escalares, $\alpha\mathbf{u} + \beta\mathbf{v} \in W$.

En $\mathbb{R}^3$, los subespacios son: el origen, las rectas por el origen, los planos por el origen y todo $\mathbb{R}^3$. Un plano que no pasa por el origen **no** es subespacio.

### Combinación lineal e independencia

Una **combinación lineal** de $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$ es $\alpha_1\mathbf{v}_1 + \cdots + \alpha_k\mathbf{v}_k$. El conjunto de todas ellas es el subespacio **generado**, $\langle\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k\rangle$.

Los vectores son **linealmente independientes** si la única forma de obtener $\mathbf{0}$ es con todos los coeficientes nulos:

$$
\alpha_1\mathbf{v}_1 + \cdots + \alpha_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0} \;\Rightarrow\; \alpha_1 = \cdots = \alpha_k = 0
$$

Si no, alguno es combinación de los demás y "sobra".

### Base y dimensión

Una **base** es un conjunto de vectores **independientes** que **generan** todo el espacio. Todas las bases de un espacio tienen el mismo número de vectores: la **dimensión**.

En un espacio de dimensión $n$:

* Más de $n$ vectores son siempre dependientes.
* Menos de $n$ vectores nunca generan.
* $n$ vectores independientes son ya una base (y $n$ que generan, también).

### Coordenadas y cambio de base

Respecto de una base $B = \{\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n\}$, cada vector se escribe **de forma única** como $\mathbf{v} = c_1\mathbf{b}_1 + \cdots + c_n\mathbf{b}_n$. Los $c_i$ son sus **coordenadas**.

Si $P$ es la matriz cuyas columnas son los vectores de $B$ escritos en la base canónica:

$$
\mathbf{v}_{\text{canónica}} = P\,\mathbf{v}_B \qquad \mathbf{v}_B = P^{-1}\,\mathbf{v}_{\text{canónica}}
$$

### Rango

El **rango** de una matriz es el número máximo de columnas (o de filas, es lo mismo) linealmente independientes. Se calcula escalonando: es el número de filas no nulas al final.

**Teorema de Rouché-Frobenius.** El sistema $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, con $n$ incógnitas:

| Condición | Sistema |
| - | - |
| $\operatorname{rg} A \ne \operatorname{rg}(A \mid \mathbf{b})$ | Incompatible (sin solución) |
| $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg}(A \mid \mathbf{b}) = n$ | Compatible determinado (una solución) |
| $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg}(A \mid \mathbf{b}) < n$ | Compatible indeterminado: $n - \operatorname{rg}A$ parámetros libres |

### Aplicaciones lineales: núcleo e imagen

$f: V \to W$ es **lineal** si $f(\alpha\mathbf{u} + \beta\mathbf{v}) = \alpha f(\mathbf{u}) + \beta f(\mathbf{v})$. Entre espacios de dimensión finita, toda aplicación lineal es una matriz: $f(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$.

* **Núcleo**: $\ker f = \{\mathbf{x} : f(\mathbf{x}) = \mathbf{0}\}$. Son las soluciones de $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$.
* **Imagen**: $\operatorname{Im} f = \{f(\mathbf{x})\}$. La generan las columnas de $A$; su dimensión es $\operatorname{rg} A$.

**Teorema de la dimensión** (rango-nulidad):

$$
\dim V = \dim\ker f + \dim\operatorname{Im} f
$$

$f$ es **inyectiva** si y solo si $\ker f = \{\mathbf{0}\}$, y **sobreyectiva** si $\operatorname{Im} f = W$.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · ¿Es un subespacio?
>
> * $W_1 = \{(x, y, z) : x + 2y - z = 0\}$: contiene el $\mathbf{0}$ y, si dos vectores cumplen la ecuación, su combinación también. **Sí**, es un plano por el origen.
> * $W_2 = \{(x, y, z) : x + 2y - z = 1\}$: $\mathbf{0} \notin W_2$. **No.**
> * $W_3 = \{(x, y) : xy \ge 0\}$: $(1, 0)$ y $(0, -1)$ están, pero su suma $(1, -1)$ no. **No.**

> [accordion] Ejemplo 2 · Independencia lineal
>
> ¿Son independientes $(1, 2, 3)$, $(4, 5, 6)$ y $(7, 8, 9)$?
>
> $\det\begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} = 0$: **dependientes**. De hecho $(7, 8, 9) = 2(4, 5, 6) - (1, 2, 3)$. Generan un plano, no todo $\mathbb{R}^3$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Base y dimensión de un subespacio
>
> $W = \{(x, y, z, t) : x - y = 0,\ z + t = 0\}$ en $\mathbb{R}^4$.
>
> Con $y = x$ y $t = -z$: $(x, x, z, -z) = x(1, 1, 0, 0) + z(0, 0, 1, -1)$.
>
> Base: $\{(1, 1, 0, 0),\ (0, 0, 1, -1)\}$. Dimensión 2 = 4 incógnitas − 2 ecuaciones independientes.

> [accordion] Ejemplo 4 · Coordenadas en otra base
>
> Coordenadas de $\mathbf{v} = (5, 1)$ en la base $B = \{(1, 1), (1, -1)\}$.
>
> $c_1(1, 1) + c_2(1, -1) = (5, 1) \Rightarrow c_1 + c_2 = 5$, $c_1 - c_2 = 1$, así que $\mathbf{v}_B = (3, 2)$.

> [accordion] Ejemplo 5 · Núcleo, imagen y teorema de la dimensión
>
> $f(x, y, z) = (x + y,\ y + z)$, con matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
>
> Núcleo: $x = -y$, $z = -y$, generado por $(1, -1, 1)$. Dimensión 1.
>
> Imagen: $\operatorname{rg} A = 2$, así que es todo $\mathbb{R}^2$. La aplicación es sobreyectiva pero no inyectiva.
>
> Comprobación: $3 = 1 + 2$.

> [accordion] Ejemplo 6 · Rouché-Frobenius con un parámetro
>
> $\begin{cases} x + y = 1 \\ x + ay = 2 \end{cases}$. $\det A = a - 1$.
>
> * $a \ne 1$: rango 2 = número de incógnitas: **una solución**.
> * $a = 1$: $\operatorname{rg} A = 1$ y $\operatorname{rg}(A\mid\mathbf{b}) = 2$: **incompatible** (dos rectas paralelas).

## Errores frecuentes

* **Olvidar comprobar que el $\mathbf{0}$ está.** Es la forma más rápida de descartar que algo sea subespacio.
* **Confundir "generan" con "son base".** Una base además tiene que ser independiente: no le sobra ningún vector.
* **Pensar que la dimensión de un subespacio es el número de ecuaciones.** Es el número de incógnitas menos el de ecuaciones **independientes**.
* **Escribir el cambio de base al revés.** $P$ lleva coordenadas de $B$ a canónicas; $P^{-1}$ hace lo contrario.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Para qué sirve tanta abstracción?
>
> Para no repetir el trabajo. Todo lo que se demuestra para espacios vectoriales vale a la vez para vectores, polinomios, matrices y funciones. Las series de Fourier, por ejemplo, son coordenadas de una función en la base de senos y cosenos.

> [accordion] ¿Qué relación hay entre rango y determinante?
>
> Una matriz $n\times n$ tiene rango $n$ si y solo si su determinante no es 0. En general, el rango es el orden del mayor menor no nulo.

## Temas relacionados

> [card] [Calculadora de vectores](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/vectores.md)
>
> Operaciones con vectores en el plano y el espacio.

> [card] [Autovalores y diagonalización](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/autovalores.md)
>
> La mejor base para una matriz.

> [card] [Sistemas lineales](https://apuntes.simulab.es/matematicas/metodos-numericos/sistemas-lineales.md)
>
> Resolverlos con el ordenador.


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