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# Matrices como transformaciones lineales: determinante y autovectores

> Una matriz 2×2 como transformación del plano: vectores base, rotaciones, escalados, cizallas y reflexiones, el determinante como factor de área, autovalores y autovectores.

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/matematicas/matrices">
  Edita una matriz 2×2 y mira cómo deforma el plano, su determinante y sus autovectores.
</Card>

Una matriz no es solo una tabla de números: es una **máquina que transforma el espacio**. Una matriz 2×2 coge cada punto del plano y lo lleva a otro, girando, estirando, inclinando o reflejando todo a la vez. Ver las matrices así hace que el determinante, la inversa o los autovectores dejen de ser fórmulas y pasen a tener un significado geométrico claro.

## Lo que vas a aprender

* Por qué las columnas de una matriz dicen todo lo que hace.
* Las transformaciones básicas: rotación, escala, cizalla, reflexión y proyección.
* El determinante como factor de cambio de área.
* Qué son los autovalores y autovectores.

## Cómo se usa el simulador

1. Edita los cuatro números de la matriz. La **columna izquierda** es adónde va $\hat\imath = (1, 0)$; la **derecha**, adónde va $\hat\jmath = (0, 1)$.
2. O elige un ejemplo: **identidad**, **rotación** (con su ángulo), **escala ×2**, **estirar en x**, **cizalla**, **reflejo en y**, **proyección en x** o **singular**.
3. El deslizador **Transición desde la identidad** y **▶ Animar** muestran la deformación poco a poco.
4. El panel da el **determinante**, la **traza**, los **autovalores** y el factor de área. Los autovectores se dibujan en amarillo.

## Fundamentos teóricos

### Las columnas lo deciden todo

Una matriz $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ transforma el vector $(x, y)$ en:

$$
A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}
$$

Como cualquier vector es una combinación de $\hat\imath$ y $\hat\jmath$, basta saber adónde van esos dos. Las rectas siguen siendo rectas, las paralelas siguen paralelas y el origen no se mueve: es una transformación **lineal**.

### Transformaciones típicas

| Transformación | Matriz | Determinante |
| - | - | - |
| Rotación de ángulo θ | $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ | 1 |
| Escala por $k$ | $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ | $k^2$ |
| Cizalla horizontal | $\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | 1 |
| Reflexión en el eje Y | $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | −1 |
| Proyección sobre el eje X | $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ | 0 |

### El determinante es un factor de área

El cuadrado unidad se convierte en un paralelogramo de área $|\det A|$. **Todas** las áreas se multiplican por ese factor.

* $\det A < 0$: el plano se **da la vuelta** (cambia la orientación).
* $\det A = 0$: el plano se **aplasta** sobre una recta o un punto. Se pierde información y la matriz **no tiene inversa**.

### Producto de matrices

$AB$ es aplicar primero $B$ y luego $A$. Por eso el orden importa y $\det(AB) = \det A \cdot \det B$.

### Autovalores y autovectores

Un **autovector** es una dirección que la matriz **no gira**, solo estira:

$$
A\vec v = \lambda\vec v
$$

$\lambda$ es el **autovalor**: el factor de estiramiento. Se obtienen de la **ecuación característica**:

$$
\det(A - \lambda I) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda^2 - \text{tr}(A)\,\lambda + \det A = 0
$$

Además, $\lambda_1 + \lambda_2 = \text{tr}(A)$ y $\lambda_1\lambda_2 = \det A$. Una rotación (salvo de 0° o 180°) no tiene autovectores reales: lo gira todo.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Autovalores" defaultOpen>
    $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$: $\det A = 3$, traza 4.

    $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$ y $\lambda = 3$. Autovectores: $(1, -1)$ y $(1, 1)$. En la diagonal $y = x$ estira por 3; en la otra diagonal no estira nada.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Rotación de 90°">
    $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$: $\det = 1$ (no cambia áreas), traza 0. $\lambda^2 + 1 = 0$: autovalores $\pm i$, sin autovectores reales.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Cizalla">
    $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$: $\det = 1$. Autovalor 1 doble, con un solo autovector: el eje X, que no se mueve.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="Las columnas">
    Pon la matriz $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y mira adónde van $\hat\imath$ y $\hat\jmath$. Cambia el 0 de arriba a la derecha por 1.
  </Step>

  <Step title="Área">
    Elige "Escala ×2". ¿Por cuánto se multiplica el área? ¿Coincide con el determinante?
  </Step>

  <Step title="Aplastar">
    Elige "Singular". ¿Qué le pasa a la cuadrícula? ¿Por qué no se puede deshacer?
  </Step>

  <Step title="Autovectores">
    Con $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, anima la transición y mira las líneas amarillas: ¿giran?
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Leer la matriz por filas** en lugar de por columnas para saber adónde van los vectores base.
* **Pensar que determinante negativo significa área negativa.** Significa orientación invertida.
* **Olvidar que el orden del producto importa.**

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Calculadora de matrices" icon="table-cells" href="/matematicas/algebra-lineal/calculadora-matrices">
    Determinante e inversa paso a paso.
  </Card>

  <Card title="Calculadora de vectores" icon="calculator" href="/matematicas/algebra-lineal/vectores">
    Operaciones con vectores.
  </Card>

  <Card title="Números complejos" icon="calculator" href="/matematicas/numeros/numeros-complejos">
    Multiplicar por un complejo es una rotación y escala.
  </Card>
</CardGroup>


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