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# Matriz inversa: método de Gauss-Jordan, adjuntos y ecuaciones matriciales

> Cómo calcular la matriz inversa: cuándo existe, inversa de una 2×2, método de Gauss-Jordan paso a paso, método de los adjuntos, propiedades de la inversa, y resolución de ecuaciones matriciales y sistemas con la inversa, con ejemplos resueltos.

Con los números, para despejar $x$ en $ax = b$ se divide entre $a$. Con las matrices no existe la división, pero sí algo equivalente: multiplicar por la **matriz inversa**. Si $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ y $A$ tiene inversa, entonces $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$. Calcularla es uno de los ejercicios básicos del álgebra lineal, y entender cuándo existe es clave para saber si un sistema tiene solución única.

## Lo que vas a aprender

* Cuándo tiene inversa una matriz.
* La fórmula directa para matrices 2×2.
* El método de Gauss-Jordan.
* El método de los adjuntos.
* Las propiedades de la inversa.
* Cómo resolver ecuaciones matriciales.

## Fundamentos teóricos

### Definición

La inversa de una matriz **cuadrada** $A$ es la matriz $A^{-1}$ que cumple

$$
A\,A^{-1} = A^{-1}A = I
$$

Existe si y solo si $\det A \ne 0$. Una matriz con inversa se llama **regular** o **invertible**; si $\det A = 0$, es **singular**. Ver [determinantes](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/determinantes.md).

### Matriz 2×2

$$
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
$$

Se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo de los otros dos y se divide entre el determinante.

### Método de Gauss-Jordan

1. Se escribe la matriz ampliada $(A \mid I)$.
2. Con **operaciones elementales de fila** (intercambiar filas, multiplicar una fila por un número no nulo, sumar a una fila un múltiplo de otra) se transforma la parte izquierda en la identidad.
3. La parte derecha queda convertida en $A^{-1}$: $(I \mid A^{-1})$.

Si en algún momento aparece una fila de ceros en la parte izquierda, la matriz no tiene inversa.

Es el método más eficiente para matrices de orden 3 o más, y el que usan los ordenadores. Puedes verlo paso a paso en la [calculadora de matrices](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/calculadora-matrices.md).

### Método de los adjuntos

$$
A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\big(\operatorname{Adj}A\big)^T
$$

$\operatorname{Adj}A$ es la matriz de los adjuntos: cada elemento sustituido por su menor con el signo $(-1)^{i+j}$. Es cómodo para matrices 3×3 con parámetros.

### Propiedades

| Propiedad | Fórmula |
| - | - |
| Inversa de la inversa | $(A^{-1})^{-1} = A$ |
| Inversa del producto | $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ (cambia el orden) |
| Inversa de la traspuesta | $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ |
| Determinante | $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$ |
| Por un número | $(kA)^{-1} = \frac1k A^{-1}$ |

### Ecuaciones matriciales

Se despeja la matriz incógnita multiplicando por la inversa **por el lado correcto**, porque el producto de matrices no es conmutativo:

| Ecuación | Solución |
| - | - |
| $AX = B$ | $X = A^{-1}B$ (inversa por la izquierda) |
| $XA = B$ | $X = BA^{-1}$ (inversa por la derecha) |
| $AX + C = B$ | $X = A^{-1}(B - C)$ |
| $AXB = C$ | $X = A^{-1}CB^{-1}$ |

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Inversa 2×2
>
> $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$. $\det A = 6 - 5 = 1$.
>
> $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$. Comprobación: $AA^{-1} = \begin{pmatrix} 6 - 5 & -3 + 3 \\ 10 - 10 & -5 + 6 \end{pmatrix} = I$.

> [accordion] Ejemplo 2 · Gauss-Jordan 3×3
>
> $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$.
>
> $\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$
>
> $F_3 - F_1$: la tercera fila pasa a $(0, 0, 1 \mid -1, 0, 1)$.
>
> $F_1 - 2F_3$: la primera pasa a $(1, 0, 0 \mid 3, 0, -2)$.
>
> $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

> [accordion] Ejemplo 3 · ¿Para qué valores es invertible?
>
> $A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ k & 4 \end{pmatrix}$: $\det A = 4 - k^2 = 0 \Rightarrow k = \pm2$. Invertible para $k \ne \pm2$.

> [accordion] Ejemplo 4 · Ecuación matricial
>
> Resuelve $AX = B$ con $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.
>
> $X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.

> [accordion] Ejemplo 5 · Despejar antes de calcular
>
> $XA - 2X = B$: $X(A - 2I) = B \Rightarrow X = B(A - 2I)^{-1}$.
>
> Hay que sacar $X$ factor común **por la izquierda** y escribir $2X = X\cdot2I$ para poder agrupar.

> [accordion] Ejemplo 6 · Sistema con la inversa
>
> $\begin{cases} 3x + y = 4 \\ 5x + 2y = 7 \end{cases}$: $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1}\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 7 \\ -20 + 21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

## Errores frecuentes

* **Multiplicar por la inversa por el lado equivocado.** $AX = B$ da $X = A^{-1}B$, no $BA^{-1}$.
* **Pensar que $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$.** El orden se invierte.
* **Olvidar trasponer** la matriz de adjuntos.
* **Intentar invertir una matriz no cuadrada** o con determinante cero.
* **Escribir $X(A - 2)$** en lugar de $X(A - 2I)$: no se puede restar un número a una matriz.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Se usa la inversa para resolver sistemas grandes?
>
> No. Calcular $A^{-1}$ cuesta unas tres veces más que resolver el sistema directamente con eliminación de Gauss o factorización LU, y es menos preciso. La inversa es útil en teoría y para matrices pequeñas. Lo explica el tema de [sistemas lineales](https://apuntes.simulab.es/matematicas/metodos-numericos/sistemas-lineales.md).

> [accordion] ¿Qué significa geométricamente la inversa?
>
> Si la matriz es una transformación del plano (girar, estirar, inclinar), la inversa es la transformación que **la deshace**. Si la matriz aplasta el plano sobre una recta (determinante cero), no hay forma de deshacerlo. Lo puedes ver en el simulador de [matrices como transformaciones](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/matrices.md).

## Temas relacionados

> [card] [Calculadora de matrices](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/calculadora-matrices.md)
>
> Gauss-Jordan paso a paso.

> [card] [Determinantes](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/determinantes.md)
>
> Cuándo existe la inversa.

> [card] [Sistemas de ecuaciones](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra/sistemas-ecuaciones.md)
>
> Resolver sistemas 2×2.


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