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# Rectas y planos en el espacio: ecuaciones, posiciones relativas, ángulos y distancias

> Geometría analítica del espacio: ecuaciones de la recta (vectorial, paramétricas, continua, implícitas) y del plano (vectorial, general), posiciones relativas de rectas y planos, ángulos, distancias de punto a plano, punto a recta y entre rectas que se cruzan, con ejemplos resueltos.

En el plano, una recta se describe con $y = mx + n$. En el **espacio** hacen falta otras herramientas: una recta queda fijada por un **punto y una dirección**, y un plano por un **punto y un vector perpendicular**. Con los [productos escalar y vectorial](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/vectores.md) se calculan ángulos, distancias y posiciones relativas. Es la base de la geometría de la robótica, los gráficos por ordenador y el diseño mecánico.

## Lo que vas a aprender

* Las distintas ecuaciones de una recta y de un plano, y cómo pasar de unas a otras.
* Cómo estudiar la posición relativa de dos rectas, de una recta y un plano, y de dos planos.
* Cómo calcular ángulos entre rectas y planos.
* Las fórmulas de distancia: punto-plano, punto-recta, planos paralelos y rectas que se cruzan.

## Fundamentos teóricos

### Ecuaciones de la recta

Con un punto $P = (x_0, y_0, z_0)$ y un vector director $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$:

| Ecuación | Forma |
| - | - |
| Vectorial | $(x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + \lambda\,(v_1, v_2, v_3)$ |
| Paramétricas | $x = x_0 + \lambda v_1$, $y = y_0 + \lambda v_2$, $z = z_0 + \lambda v_3$ |
| Continua | $\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$ |
| Implícitas | Dos ecuaciones de planos: la recta es su intersección |

Si un componente del vector es 0, en la continua se escribe igual (con un 0 en el denominador) y se interpreta como que esa coordenada es constante.

### Ecuaciones del plano

Con un punto $P$ y dos vectores directores $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ no paralelos, o con un punto y un **vector normal** $\mathbf{n} = (A, B, C)$:

| Ecuación | Forma |
| - | - |
| Vectorial | $(x, y, z) = P + \lambda\mathbf{u} + \mu\mathbf{v}$ |
| General | $Ax + By + Cz + D = 0$ |

El vector normal es $\mathbf{n} = \mathbf{u}\times\mathbf{v}$, y los coeficientes $(A, B, C)$ de la ecuación general son sus componentes.

**Plano por tres puntos** $P, Q, R$: $\mathbf{n} = \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}$, y se sustituye $P$ para hallar $D$.

### Posiciones relativas

**Dos rectas** con directores $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ y puntos $P$, $Q$:

| Situación | Condición |
| - | - |
| Coincidentes | $\mathbf{u} \parallel \mathbf{v}$ y $P$ está en la otra recta |
| Paralelas | $\mathbf{u} \parallel \mathbf{v}$ y $P$ no está en la otra |
| Se cortan | No paralelas y $[\mathbf{u}, \mathbf{v}, \overrightarrow{PQ}] = 0$ (coplanarias) |
| Se cruzan | No paralelas y $[\mathbf{u}, \mathbf{v}, \overrightarrow{PQ}] \ne 0$ |

Donde $[\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}] = \det(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})$ es el **producto mixto**.

**Recta y plano**, con director $\mathbf{v}$ y normal $\mathbf{n}$:

* $\mathbf{v}\cdot\mathbf{n} \ne 0$: se cortan en un punto.
* $\mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = 0$: paralelos, o la recta está contenida en el plano (si un punto de la recta cumple la ecuación del plano).

**Dos planos**: se comparan los coeficientes $(A, B, C, D)$. Proporcionales los cuatro: coincidentes. Proporcionales solo $A, B, C$: paralelos. Si no: se cortan en una recta. Con tres planos se estudia el sistema con [Rouché-Frobenius](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/espacios-vectoriales.md).

### Ángulos

| Entre | Fórmula |
| - | - |
| Dos rectas | $\cos\alpha = \frac{\lvert\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\rvert}{\lvert\mathbf{u}\rvert\,\lvert\mathbf{v}\rvert}$ |
| Dos planos | $\cos\alpha = \frac{\lvert\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2\rvert}{\lvert\mathbf{n}_1\rvert\,\lvert\mathbf{n}_2\rvert}$ |
| Recta y plano | $\operatorname{sen}\alpha = \frac{\lvert\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\rvert}{\lvert\mathbf{v}\rvert\,\lvert\mathbf{n}\rvert}$ |

El valor absoluto da el ángulo agudo. Entre recta y plano es un **seno**, porque el normal es perpendicular al plano.

### Distancias

| Distancia | Fórmula |
| - | - |
| Punto $P_0$ a plano $Ax + By + Cz + D = 0$ | $\frac{\lvert Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\rvert}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ |
| Punto $Q$ a recta (punto $P$, director $\mathbf{v}$) | $\frac{\lvert\overrightarrow{PQ}\times\mathbf{v}\rvert}{\lvert\mathbf{v}\rvert}$ |
| Planos paralelos $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ y $\ldots + D_2 = 0$ | $\frac{\lvert D_1 - D_2\rvert}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ |
| Rectas que se cruzan | $\frac{\lvert[\mathbf{u}, \mathbf{v}, \overrightarrow{PQ}]\rvert}{\lvert\mathbf{u}\times\mathbf{v}\rvert}$ |

La última es la altura de un paralelepípedo: volumen (producto mixto) dividido entre el área de la base.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Recta por dos puntos
>
> $A = (1, 2, 0)$ y $B = (3, 1, 4)$. Director: $\overrightarrow{AB} = (2, -1, 4)$.
>
> Paramétricas: $x = 1 + 2\lambda$, $y = 2 - \lambda$, $z = 4\lambda$. Continua: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z}{4}$.

> [accordion] Ejemplo 2 · Plano por tres puntos
>
> $P = (1, 0, 0)$, $Q = (0, 1, 0)$, $R = (0, 0, 1)$. $\overrightarrow{PQ} = (-1, 1, 0)$, $\overrightarrow{PR} = (-1, 0, 1)$.
>
> $\mathbf{n} = (1\cdot1 - 0,\ 0 - (-1),\ 0 + 1) = (1, 1, 1)$. Plano: $x + y + z + D = 0$, y con $P$: $D = -1$.
>
> $x + y + z = 1$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Posición de dos rectas
>
> $r$: punto $(0, 0, 0)$, director $(1, 1, 0)$. $s$: punto $(1, 0, 1)$, director $(0, 1, 1)$.
>
> No son paralelas. $\overrightarrow{PQ} = (1, 0, 1)$. $\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 + 1 = 2 \ne 0$: **se cruzan**.

> [accordion] Ejemplo 4 · Distancia entre las rectas que se cruzan
>
> Con las rectas anteriores: $\mathbf{u}\times\mathbf{v} = (1, -1, 1)$, de módulo $\sqrt3$.
>
> $d = \frac{|2|}{\sqrt3} = 1{,}155$.

> [accordion] Ejemplo 5 · Distancia de un punto a un plano
>
> $P = (2, 1, 3)$ al plano $2x - y + 2z - 3 = 0$:
>
> $d = \frac{|4 - 1 + 6 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{6}{3} = 2$.

> [accordion] Ejemplo 6 · Corte de recta y plano
>
> Recta $x = 1 + t$, $y = 2t$, $z = 3 - t$ y plano $x + y + z = 6$.
>
> $(1 + t) + 2t + (3 - t) = 6 \Rightarrow 2t = 2 \Rightarrow t = 1$. Punto de corte: $(2, 2, 2)$.

> [accordion] Ejemplo 7 · Ángulo entre dos planos
>
> $x + y = 0$ y $y + z = 0$: $\mathbf{n}_1 = (1, 1, 0)$, $\mathbf{n}_2 = (0, 1, 1)$.
>
> $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt2\sqrt2} = \frac12 \Rightarrow \alpha = 60°$.

## Errores frecuentes

* **Usar coseno para el ángulo recta-plano.** Con el vector normal, el ángulo con el plano es el complementario: se usa el seno.
* **Confundir el vector director de un plano con el normal.** En $Ax + By + Cz + D = 0$, $(A, B, C)$ es perpendicular al plano.
* **Decir que dos rectas no paralelas se cortan.** En el espacio pueden cruzarse sin tocarse.
* **Olvidar el valor absoluto** en las distancias.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Cómo paso de implícitas a paramétricas?
>
> Resolviendo el sistema de las dos ecuaciones con una incógnita como parámetro. O más rápido: el director es el producto vectorial de los dos normales, y un punto se obtiene dando un valor a una coordenada.

> [accordion] ¿Dónde se usa esto?
>
> En los gráficos 3D (trazado de rayos: cortar un rayo con los planos de los objetos), en robótica (cinemática de brazos), en CAD y en topografía. La distancia punto-plano es también la base de las máquinas de vectores soporte del aprendizaje automático.

## Temas relacionados

> [card] [Calculadora de vectores](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/vectores.md)
>
> Producto escalar, vectorial y ángulo.

> [card] [Determinantes](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/determinantes.md)
>
> El producto mixto como determinante.

> [card] [Sistemas de ecuaciones](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra/sistemas-ecuaciones.md)
>
> Corte de rectas y planos.


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