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# Calculadora de vectores: módulo, producto escalar y vectorial

> Opera con vectores en 2D y 3D: módulo, suma, resta, producto escalar, producto vectorial y ángulo entre dos vectores. Fórmulas, interpretación geométrica y ejemplos.

<Card title="Abrir la calculadora" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/vectores">
  Módulo, suma, resta, producto escalar, producto vectorial y ángulo entre dos vectores.
</Card>

Un vector tiene módulo, dirección y sentido: sirve para representar desplazamientos, velocidades, fuerzas o campos. Con dos operaciones, el **producto escalar** y el **producto vectorial**, se calculan ángulos, proyecciones, áreas y perpendiculares.

## Cómo se usa la calculadora

1. Escribe las componentes $x$, $y$, $z$ de los vectores $\vec a$ y $\vec b$. Para vectores del plano, deja $z = 0$.
2. Obtienes $\vec a \cdot \vec b$, $|\vec a|$, $|\vec b|$, $\vec a + \vec b$, $\vec a - \vec b$, $\vec a \times \vec b$ y el ángulo entre ellos, con los cálculos.

## Fundamentos teóricos

### Módulo

$$
|\vec a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}
$$

Es la longitud del vector (Pitágoras en 3D).

### Suma y resta

Componente a componente. Geométricamente, la suma es la diagonal del paralelogramo (o colocar uno a continuación del otro).

### Producto escalar

$$
\vec a \cdot \vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = |\vec a|\,|\vec b|\cos\theta
$$

* El resultado es un **número**.
* Si vale **0**, los vectores son **perpendiculares**.
* Sirve para calcular el ángulo: $\cos\theta = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}$.
* En física: el trabajo $W = \vec F \cdot \vec d$.

### Producto vectorial (solo en 3D)

$$
\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x)
$$

* El resultado es un **vector perpendicular** a los dos, con el sentido de la regla de la mano derecha.
* Su módulo, $|\vec a|\,|\vec b|\sin\theta$, es el **área del paralelogramo** que forman.
* No es conmutativo: $\vec b \times \vec a = -\vec a \times \vec b$.
* En física: el momento de una fuerza, la fuerza de Lorentz.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Producto escalar y ángulo" defaultOpen>
    $\vec a = (3, 4, 0)$, $\vec b = (1, 2, 2)$.

    $\vec a \cdot \vec b = 3 + 8 + 0 = 11$; $|\vec a| = 5$; $|\vec b| = 3$.

    $\cos\theta = 11/15 \Rightarrow \theta = 42{,}8°$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Producto vectorial y área">
    Con los mismos vectores: $\vec a \times \vec b = (4 \cdot 2 - 0 \cdot 2,\ 0 \cdot 1 - 3 \cdot 2,\ 3 \cdot 2 - 4 \cdot 1) = (8, -6, 2)$.

    Área del paralelogramo: $\sqrt{64 + 36 + 4} = 10{,}2$. La del triángulo, la mitad: 5,1.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · ¿Son perpendiculares?">
    $(2, -1, 3) \cdot (1, 5, 1) = 2 - 5 + 3 = 0$: sí.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Pensar que el producto escalar da un vector.** Da un número.
* **Equivocarse de signo en la segunda componente** del producto vectorial.
* **Cambiar el orden** en el producto vectorial: cambia el sentido del resultado.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Matrices como transformaciones" icon="vector-square" href="/matematicas/algebra-lineal/matrices">
    Vectores que se transforman.
  </Card>

  <Card title="Calculadora de trabajo" icon="calculator" href="/fisica/dinamica/trabajo">
    El trabajo como producto escalar.
  </Card>

  <Card title="Campo magnético" icon="magnet" href="/fisica/electromagnetismo/campo-magnetico">
    La fuerza de Lorentz como producto vectorial.
  </Card>
</CardGroup>


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