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# Binomio de Newton y triángulo de Pascal: números combinatorios y desarrollo

> El binomio de Newton explicado: números combinatorios, propiedades, triángulo de Pascal (Tartaglia), fórmula del desarrollo de (a + b)ⁿ, término general, cálculo de un término concreto y del término independiente, y relación con la distribución binomial, con ejemplos resueltos.

¿Cómo se desarrolla $(a + b)^7$ sin multiplicar el binomio siete veces? El **binomio de Newton** da directamente todos los términos con unos coeficientes que se leen en el **triángulo de Pascal** y que son los mismos [números combinatorios](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/combinatoria.md) que cuentan de cuántas formas se pueden elegir $k$ elementos de $n$. Sirve en álgebra, en probabilidad (la distribución binomial) y en aproximaciones numéricas.

## Lo que vas a aprender

* Qué es un número combinatorio y sus propiedades.
* Cómo construir el triángulo de Pascal.
* La fórmula del binomio de Newton y su término general.
* Cómo encontrar un término concreto sin desarrollar todo.
* La relación con la combinatoria y la probabilidad.

## Fundamentos teóricos

### Números combinatorios

$$
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}
$$

Se lee "$n$ sobre $k$" y cuenta las formas de elegir $k$ elementos de un grupo de $n$ sin que importe el orden.

| Propiedad | Fórmula |
| - | - |
| Extremos | $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ |
| Simetría | $\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$ |
| Regla de Pascal | $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ |
| Suma de una fila | $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} = 2^n$ |

Para calcularlos rápido: $\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$. Por ejemplo, $\binom{8}{3} = \frac{8\cdot7\cdot6}{6} = 56$.

### Triángulo de Pascal

Cada número es la suma de los dos que tiene encima:

```
n = 0:            1
n = 1:          1   1
n = 2:        1   2   1
n = 3:      1   3   3   1
n = 4:    1   4   6   4   1
n = 5:  1   5  10  10   5   1
```

La fila $n$ contiene $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$.

### El binomio de Newton

$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^k
$$

* Hay $n + 1$ términos.
* Las potencias de $a$ bajan de $n$ a 0 y las de $b$ suben de 0 a $n$; en cada término suman $n$.
* Los coeficientes son la fila $n$ del triángulo.
* Para $(a - b)^n$ los signos se alternan: $+, -, +, \dots$

### Término general

El término que ocupa el lugar $k + 1$ es

$$
T_{k+1} = \binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^k
$$

Con él se calcula un término concreto sin escribir el desarrollo completo.

### Relación con la probabilidad

Si un experimento tiene probabilidad $p$ de éxito y se repite $n$ veces, la probabilidad de $k$ éxitos es el término $\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$ del desarrollo de $(q + p)^n$, con $q = 1 - p$. Es la [distribución binomial](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/distribuciones-discretas.md), y la suma de todos los términos es $(q + p)^n = 1$.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Desarrollo completo
>
> $(x + 2)^4$, con la fila 1, 4, 6, 4, 1:
>
> $x^4 + 4x^3\cdot2 + 6x^2\cdot4 + 4x\cdot8 + 16 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$.

> [accordion] Ejemplo 2 · Binomio con resta
>
> $(2x - 1)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2 + 3(2x) - 1 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Un término concreto
>
> Término en $x^5$ de $(x + 3)^8$: con $a = x$, $b = 3$, hace falta $n - k = 5$, así que $k = 3$.
>
> $T_4 = \binom{8}{3}x^5\cdot3^3 = 56\cdot27\,x^5 = 1512\,x^5$.

> [accordion] Ejemplo 4 · Término independiente
>
> En $\left(x^2 + \frac1x\right)^6$: $T_{k+1} = \binom6k(x^2)^{6-k}x^{-k} = \binom6k x^{12 - 3k}$.
>
> Independiente si $12 - 3k = 0$, es decir $k = 4$: $\binom64 = 15$.

> [accordion] Ejemplo 5 · Aproximar una potencia
>
> $1{,}02^{10} = (1 + 0{,}02)^{10} \approx 1 + 10\cdot0{,}02 + 45\cdot0{,}0004 + 120\cdot0{,}000008 = 1{,}21896$.
>
> El valor exacto es 1,21899: con cuatro términos, el error es de tres cienmilésimas.

> [accordion] Ejemplo 6 · Probabilidad con el binomio
>
> Se lanza una moneda 5 veces. Probabilidad de exactamente 2 caras: $\binom52\left(\frac12\right)^5 = \frac{10}{32} = 0{,}3125$.

## Errores frecuentes

* **Olvidar elevar el coeficiente de la variable:** en $(2x + 1)^3$, el primer término es $(2x)^3 = 8x^3$, no $2x^3$.
* **Olvidar los signos alternos** con una resta.
* **Confundir el término $k$ con el $k + 1$:** el término general $\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ ocupa el lugar $k + 1$.
* **Pensar que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$.** Falta el término $2ab$.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Funciona con exponentes que no son naturales?
>
> Sí, con el **binomio generalizado**: $(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2}x^2 + \cdots$, pero entonces la suma tiene infinitos términos y solo converge si $|x| < 1$. Es una [serie de potencias](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/series-potencias.md), y de ahí sale la aproximación $(1 + x)^n \approx 1 + nx$.

> [accordion] ¿Por qué se llama triángulo de Tartaglia o de Pascal?
>
> En España e Italia se asocia a Niccolò Tartaglia (siglo XVI), y en Francia y el mundo anglosajón a Blaise Pascal, que estudió sus propiedades en 1654. Pero ya lo conocían los matemáticos chinos (Yang Hui, siglo XIII) y persas (Omar Jayam, siglo XI).

## Temas relacionados

> [card] [Combinatoria](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/combinatoria.md)
>
> Variaciones, permutaciones y combinaciones.

> [card] [Tablero de Galton](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/probabilidad.md)
>
> El triángulo de Pascal en acción.

> [card] [Factorizar polinomios](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra/polinomios.md)
>
> Identidades notables y polinomios.


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