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# Ecuaciones de segundo grado: fórmula general y discriminante

> Resuelve ax² + bx + c = 0 con la fórmula general: discriminante, soluciones reales, dobles y complejas, vértice de la parábola, suma y producto de raíces y ejemplos resueltos.

<Card title="Abrir la calculadora" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/ecuacion-segundo-grado">
  Resuelve ax² + bx + c = 0 con el discriminante y las soluciones reales o complejas.
</Card>

Las ecuaciones de segundo grado aparecen por todas partes: en el tiro parabólico, en áreas, en problemas de optimización, en física y en economía. Todas se resuelven con **una única fórmula**, y un número, el **discriminante**, avisa antes de calcular de cuántas soluciones hay.

## Cómo se usa la calculadora

1. Escribe los coeficientes **a** (de $x^2$), **b** (de $x$) y **c** (el término independiente).
2. La calculadora da las **soluciones**, el **discriminante** con su interpretación y el **vértice de la parábola** $y = ax^2 + bx + c$, con cada cálculo.

Si tu ecuación no está en la forma $ax^2 + bx + c = 0$, pásalo todo a un lado primero, o usa [Resolver ecuaciones paso a paso](/matematicas/algebra/ecuaciones).

## Fundamentos teóricos

### La fórmula general

$$
ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \ne 0) \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Sale de **completar el cuadrado**: dividiendo entre $a$ y sumando $(b/2a)^2$ a los dos lados queda $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$.

### El discriminante

$$
\Delta = b^2 - 4ac
$$

| Discriminante | Soluciones | Gráfica de la parábola |
| - | - | - |
| $\Delta > 0$ | Dos reales distintas | Corta al eje X en dos puntos |
| $\Delta = 0$ | Una real doble, $x = -b/2a$ | Toca el eje X en el vértice |
| $\Delta < 0$ | Ninguna real; dos complejas conjugadas | No corta al eje X |

Con $\Delta < 0$, las soluciones son $x = \dfrac{-b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\,i$.

### Vértice de la parábola

$$
x_v = -\frac{b}{2a} \qquad y_v = c - \frac{b^2}{4a}
$$

Las dos soluciones están a la misma distancia del vértice, a izquierda y derecha.

### Suma y producto de las raíces (Cardano-Vieta)

$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
$$

Sirve para comprobar el resultado o para escribir una ecuación conociendo sus soluciones: $x^2 - Sx + P = 0$.

### Factorización

Si $x_1$ y $x_2$ son las soluciones, $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Dos soluciones" defaultOpen>
    $x^2 - 5x + 6 = 0$: $\Delta = 25 - 24 = 1$; $x = (5 \pm 1)/2$, es decir, $x_1 = 3$, $x_2 = 2$.

    Comprobación: suma $5 = -(-5)/1$ ✓; producto $6 = 6/1$ ✓. Vértice: $(2{,}5;\ -0{,}25)$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Solución doble">
    $2x^2 + 4x + 2 = 0$: $\Delta = 16 - 16 = 0$; $x = -4/4 = -1$ (doble). Es $2(x + 1)^2$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Soluciones complejas">
    $x^2 + 2x + 5 = 0$: $\Delta = 4 - 20 = -16$; $x = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · Un problema">
    Un rectángulo tiene 3 m más de largo que de ancho y 40 m² de área. ¿Cuánto mide?

    $x(x + 3) = 40 \Rightarrow x^2 + 3x - 40 = 0$; $\Delta = 9 + 160 = 169$; $x = (-3 \pm 13)/2$: $x = 5$ o $x = -8$. Un ancho negativo no tiene sentido: mide 5 m × 8 m.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Olvidar el signo de $b$**: si $b = -5$, entonces $-b = 5$ y $b^2 = 25$.
* **Dividir solo la raíz entre $2a$**: hay que dividir todo el numerador.
* **Calcular $-b^2$ en vez de $b^2$**: el cuadrado siempre es positivo.
* **No igualar a cero** antes de identificar $a$, $b$ y $c$.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Resolver ecuaciones" icon="calculator" href="/matematicas/algebra/ecuaciones">
    Con paréntesis y denominadores, paso a paso.
  </Card>

  <Card title="Números complejos" icon="calculator" href="/matematicas/numeros/numeros-complejos">
    Cuando el discriminante es negativo.
  </Card>

  <Card title="Transformaciones de funciones" icon="chart-line" href="/matematicas/calculo/funciones">
    La parábola y sus desplazamientos.
  </Card>
</CardGroup>


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