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# Ecuaciones exponenciales y logarítmicas: métodos y ejemplos resueltos

> Cómo resolver ecuaciones exponenciales (igualando bases, tomando logaritmos y por cambio de variable) y ecuaciones logarítmicas (agrupando logaritmos y comprobando soluciones), sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas, y aplicaciones al crecimiento y la desintegración, con ejemplos resueltos.

En una **ecuación exponencial** la incógnita está en el exponente, como $2^x = 32$ o $3^{x+1} + 3^x = 36$. En una **ecuación logarítmica** está dentro de un logaritmo, como $\log(x + 3) = 2$. Las dos se resuelven con las propiedades de las potencias y de los [logaritmos](https://apuntes.simulab.es/matematicas/numeros/logaritmos.md), y aparecen en todos los problemas de crecimiento: poblaciones, interés compuesto, desintegración radiactiva o enfriamiento.

## Lo que vas a aprender

* Los tres métodos para las ecuaciones exponenciales.
* Cómo resolver ecuaciones logarítmicas y por qué hay que comprobar las soluciones.
* Cómo resolver sistemas exponenciales y logarítmicos.
* Las aplicaciones a problemas de crecimiento y decrecimiento.

## Fundamentos teóricos

### Ecuaciones exponenciales

**Método 1: igualar bases.** Si se pueden escribir los dos lados como potencias de la misma base, se igualan los exponentes:

$$
a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)
$$

**Método 2: tomar logaritmos.** Si no hay una base común:

$$
a^x = b \iff x = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}
$$

**Método 3: cambio de variable.** Si aparecen $a^x$, $a^{2x}$, $a^{x+1}$…, se escribe todo en función de $a^x$ y se llama $t = a^x$. Queda una ecuación polinómica en $t$. Al final se deshace el cambio, descartando los valores de $t \le 0$ (porque $a^x > 0$ siempre).

| Expresión | En función de $t = a^x$ |
| - | - |
| $a^{x+k}$ | $a^k\,t$ |
| $a^{x-k}$ | $\frac{t}{a^k}$ |
| $a^{2x}$ | $t^2$ |
| $a^{-x}$ | $\frac1t$ |

### Ecuaciones logarítmicas

1. Se agrupan los logaritmos con las propiedades hasta tener $\log_a A = \log_a B$ (y entonces $A = B$) o $\log_a A = c$ (y entonces $A = a^c$).
2. Se resuelve la ecuación que queda.
3. **Se comprueban las soluciones**: los argumentos de todos los logaritmos de la ecuación original tienen que ser positivos. Las que no lo cumplen se descartan.

### Sistemas

Se combinan los dos métodos: a veces conviene un cambio de variable ($u = 2^x$, $v = 3^y$) y otras, aplicar las propiedades para quitar los logaritmos y llegar a un sistema algebraico.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Igualando bases
>
> $4^{x-1} = 8^{x}$. En base 2: $2^{2(x-1)} = 2^{3x}$.
>
> $2x - 2 = 3x \Rightarrow x = -2$.

> [accordion] Ejemplo 2 · Tomando logaritmos
>
> $5^{2x} = 30$: $2x = \frac{\ln 30}{\ln 5} = \frac{3{,}401}{1{,}609} = 2{,}113 \Rightarrow x = 1{,}057$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Sacando factor común
>
> $3^{x+1} + 3^x = 36$: $3\cdot3^x + 3^x = 4\cdot3^x = 36 \Rightarrow 3^x = 9 \Rightarrow x = 2$.

> [accordion] Ejemplo 4 · Cambio de variable
>
> $4^x - 6\cdot2^x + 8 = 0$. Con $t = 2^x$: $t^2 - 6t + 8 = 0 \Rightarrow t = 2$ o $t = 4$.
>
> $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$; $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$.

> [accordion] Ejemplo 5 · Cambio de variable con una solución imposible
>
> $e^{2x} - e^x - 6 = 0$. Con $t = e^x$: $t^2 - t - 6 = 0 \Rightarrow t = 3$ o $t = -2$.
>
> $e^x = -2$ es imposible. Solo queda $x = \ln 3 = 1{,}099$.

> [accordion] Ejemplo 6 · Ecuación logarítmica
>
> $\log x + \log(x - 3) = 1$: $\log[x(x - 3)] = 1 \Rightarrow x^2 - 3x = 10 \Rightarrow x = 5$ o $x = -2$.
>
> Comprobación: con $x = -2$, $\log(-2)$ no existe. Solución: $x = 5$.

> [accordion] Ejemplo 7 · Logaritmos a los dos lados
>
> $2\ln x = \ln(x + 6)$: $\ln x^2 = \ln(x + 6) \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ o $x = -2$.
>
> Solo vale $x = 3$.

> [accordion] Ejemplo 8 · Sistema logarítmico
>
> $\begin{cases} \log x + \log y = 3 \\ x - y = 90 \end{cases}$. La primera da $xy = 1000$.
>
> Con $x = y + 90$: $y^2 + 90y - 1000 = 0 \Rightarrow y = 10$ (la otra raíz, −100, no vale). $x = 100$.

> [accordion] Ejemplo 9 · Problema de crecimiento
>
> Un cultivo de bacterias se duplica cada 3 horas: $N = N_0\cdot2^{t/3}$. ¿Cuándo se multiplica por 1000?
>
> $2^{t/3} = 1000 \Rightarrow \frac{t}{3} = \frac{\ln 1000}{\ln 2} = 9{,}97 \Rightarrow t = 29{,}9$ horas.

## Errores frecuentes

* **No comprobar las soluciones** de una ecuación logarítmica.
* **Aceptar valores negativos de $t = a^x$** en el cambio de variable.
* **Aplicar $\log(A + B) = \log A + \log B$.** No existe esa propiedad.
* **Tomar logaritmos en una suma término a término:** de $2^x + 3^x = 10$ no se puede pasar a $x\log 2 + x\log 3 = \log 10$.
* **Olvidar que $a^{x+1} = a\cdot a^x$**, no $a^x + 1$.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Todas las ecuaciones exponenciales se pueden resolver así?
>
> No. Algo como $2^x = x + 3$ mezcla una exponencial y un polinomio, y no se puede despejar con funciones elementales. Se resuelve de forma aproximada con [métodos numéricos](https://apuntes.simulab.es/matematicas/metodos-numericos/ceros-funciones.md) o gráficamente.

> [accordion] ¿Qué es la vida media?
>
> El tiempo en que una cantidad que decrece exponencialmente se reduce a la mitad. Si $N = N_0e^{-kt}$, la vida media es $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$. Se usa en la radiactividad y en la eliminación de fármacos: ver [cinética química](https://apuntes.simulab.es/quimica/fisicoquimica/cinetica-quimica.md).

## Temas relacionados

> [card] [Logaritmos](https://apuntes.simulab.es/matematicas/numeros/logaritmos.md)
>
> Definición y propiedades.

> [card] [Resolver ecuaciones](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra/ecuaciones.md)
>
> Ecuaciones paso a paso.

> [card] [Ecuación de segundo grado](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra/ecuacion-segundo-grado.md)
>
> La que aparece tras el cambio de variable.


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