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# Resolver ecuaciones paso a paso: primer y segundo grado

> Cómo resolver ecuaciones de primer grado (con paréntesis y denominadores) y de segundo grado (completas e incompletas) paso a paso, con la comprobación y ejemplos resueltos.

<Card title="Abrir la herramienta" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/ecuaciones">
  Escribe una ecuación de primer o segundo grado y mira cada paso, como en clase.
</Card>

Resolver una ecuación es encontrar el valor (o los valores) de la incógnita que hacen que los dos lados del igual valgan lo mismo. Es la herramienta más usada de las matemáticas del instituto, y se aprende siguiendo siempre **los mismos pasos en el mismo orden**. Esta herramienta te los enseña uno a uno con tu propia ecuación.

## Lo que vas a aprender

* Qué es una ecuación, sus miembros y su solución.
* Los pasos para resolver una ecuación de primer grado: paréntesis, denominadores, transposición, agrupación y despeje.
* Cómo resolver ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.
* Cómo comprobar la solución.
* Qué pasa cuando una ecuación no tiene solución o tiene infinitas.

## Cómo se usa la herramienta

1. Escribe tu ecuación en el recuadro, por ejemplo `3(x − 2) = 2x + 5`. Puedes usar el teclado de botones para `x`, `x²`, paréntesis, fracciones, `·`, `−` e `=`.
2. Pulsa **Resolver**.
3. Verás la solución, el **paso a paso** con la explicación de cada operación y la **comprobación** sustituyendo en la ecuación original.

**Cómo escribirla:** usa `^2` o `²` para el cuadrado, `/` para las fracciones y paréntesis donde haga falta: `(x + 1)/3 − x/2 = 4`. La coma decimal también vale: `0,5x = 2`. Los botones de **Ejemplos** cargan ecuaciones típicas.

## Fundamentos teóricos

### Qué es una ecuación

Una **ecuación** es una igualdad con una o varias letras desconocidas (**incógnitas**) que solo se cumple para ciertos valores. Lo que hay a la izquierda del igual es el **primer miembro** y lo de la derecha, el **segundo**.

Dos ecuaciones son **equivalentes** si tienen las mismas soluciones. Resolver es transformar la ecuación en otras equivalentes cada vez más sencillas, hasta llegar a $x = \text{número}$. Las dos reglas que lo permiten:

* Se puede **sumar o restar** lo mismo en los dos miembros ("lo que suma pasa restando").
* Se puede **multiplicar o dividir** los dos miembros por el mismo número distinto de cero ("lo que multiplica pasa dividiendo").

### Ecuaciones de primer grado: los pasos

1. **Quitar paréntesis**: multiplica lo de fuera por cada término de dentro. Un signo menos delante cambia todos los signos de dentro.
2. **Quitar denominadores**: multiplica los dos miembros por el **mínimo común múltiplo** de los denominadores.
3. **Transponer**: los términos con $x$ a un lado y los números al otro.
4. **Agrupar** los términos semejantes.
5. **Despejar** $x$ dividiendo entre su coeficiente.
6. **Comprobar** sustituyendo en la ecuación original.

### Ecuaciones de segundo grado

Se pasa todo a un lado hasta tener la forma $ax^2 + bx + c = 0$ y se aplica la **fórmula general**:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

El **discriminante** $\Delta = b^2 - 4ac$ dice cuántas soluciones hay: dos si $\Delta > 0$, una doble si $\Delta = 0$ y ninguna real si $\Delta < 0$.

### Ecuaciones incompletas

No hace falta la fórmula:

* **Sin término independiente** ($ax^2 + bx = 0$): factor común, $x(ax + b) = 0$. Soluciones $x = 0$ y $x = -b/a$.
* **Sin término en x** ($ax^2 + c = 0$): $x^2 = -c/a$, y $x = \pm\sqrt{-c/a}$ si es positivo.

### Casos especiales

* Si al simplificar desaparece la $x$ y queda algo **falso** ($0 = 2$), la ecuación **no tiene solución**.
* Si queda algo **siempre cierto** ($0 = 0$), es una **identidad**: cualquier número es solución.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Con paréntesis" defaultOpen>
    $3(x - 2) = 2x + 5$

    Paréntesis: $3x - 6 = 2x + 5$. Transponer: $3x - 2x = 5 + 6$. Agrupar: $x = 11$.

    Comprobación: $3 \cdot 9 = 27$ y $22 + 5 = 27$. ✓
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Con denominadores">
    $\dfrac{x + 1}{3} - \dfrac{x - 2}{4} = 1$

    mcm(3, 4) = 12. Multiplicando todo por 12: $4(x + 1) - 3(x - 2) = 12$.

    ¡Cuidado con el signo menos delante de la segunda fracción! $4x + 4 - 3x + 6 = 12 \Rightarrow x = 2$.

    Comprobación: $3/3 - 0/4 = 1$. ✓
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Segundo grado completa">
    $x^2 - 5x + 6 = 0$: $\Delta = 25 - 24 = 1$; $x = \dfrac{5 \pm 1}{2}$, es decir, $x = 3$ y $x = 2$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · Incompletas">
    $x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 3$.

    $2x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 5 · Soluciones irracionales">
    $x^2 + x - 1 = 0$: $\Delta = 5$; $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt5}{2}$, es decir, $x \approx 0{,}618$ y $x \approx -1{,}618$.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Olvidar cambiar los signos** al quitar un paréntesis con un menos delante.
* **Multiplicar solo algunos términos** por el mcm al quitar denominadores. Hay que multiplicar **todos**, también los que no tienen denominador.
* **Pasar un número dividiendo con el signo cambiado.** Si $-2x = 6$, entonces $x = 6/(-2) = -3$; el signo no cambia al pasar dividiendo.
* **Dividir entre $x$** en una ecuación de segundo grado: se pierde la solución $x = 0$.
* **No comprobar** la solución.

## Preguntas frecuentes

<AccordionGroup>
  <Accordion title="¿Cómo se quitan los denominadores?">
    Se multiplican los dos miembros por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. Cada fracción se convierte en un entero.
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Qué es el discriminante?">
    En $ax^2 + bx + c = 0$ es $\Delta = b^2 - 4ac$. Si es positivo hay dos soluciones reales; si es cero, una doble; y si es negativo, ninguna real.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Ecuaciones de segundo grado" icon="calculator" href="/matematicas/algebra/ecuacion-segundo-grado">
    Fórmula general y soluciones complejas.
  </Card>

  <Card title="Sistemas de ecuaciones" icon="calculator" href="/matematicas/algebra/sistemas-ecuaciones">
    Dos ecuaciones con dos incógnitas.
  </Card>

  <Card title="Factorizar polinomios" icon="calculator" href="/matematicas/algebra/polinomios">
    Ecuaciones de grado mayor que dos.
  </Card>
</CardGroup>


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