> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Inecuaciones: lineales, de segundo grado, racionales, con valor absoluto y sistemas > Cómo resolver inecuaciones: propiedades de las desigualdades, inecuaciones de primer grado, de segundo grado y polinómicas con tabla de signos, racionales, con valor absoluto, sistemas de inecuaciones y su representación en intervalos y en el plano, con ejemplos resueltos. Una **inecuación** es como una ecuación, pero con un signo de desigualdad ($<$, $\le$, $>$, $\ge$) en lugar de un igual. Su solución no es un número, sino **un conjunto de números**, normalmente uno o varios intervalos. Sirven para expresar condiciones: qué precios dan beneficio, entre qué valores es segura una temperatura, o cuál es el dominio de una función. ## Lo que vas a aprender * Las reglas para operar con desigualdades. * Cómo expresar las soluciones con intervalos. * Cómo resolver inecuaciones de primer grado, de segundo grado y polinómicas. * El método de la tabla de signos para las racionales. * Las inecuaciones con valor absoluto y los sistemas. ## Fundamentos teóricos ### Reglas de las desigualdades | Operación | Efecto | | - | - | | Sumar o restar lo mismo a los dos lados | La desigualdad se mantiene | | Multiplicar o dividir por un número **positivo** | Se mantiene | | Multiplicar o dividir por un número **negativo** | **Cambia de sentido** | De $-2x < 6$ se pasa a $x > -3$: al dividir entre −2, el $<$ se convierte en $>$. ### Intervalos | Desigualdad | Intervalo | En la recta | | - | - | - | | $a < x < b$ | $(a, b)$ | Extremos abiertos (sin incluir) | | $a \le x \le b$ | $[a, b]$ | Extremos cerrados (incluidos) | | $x > a$ | $(a, +\infty)$ | Hacia la derecha | | $x \le a$ | $(-\infty, a]$ | Hacia la izquierda | El infinito siempre va con paréntesis. La unión de intervalos se escribe con $\cup$. ### Primer grado Se despeja $x$ como en una ecuación, recordando cambiar el sentido si se multiplica o divide por un negativo. ### Segundo grado y polinómicas 1. Se pasa todo a un lado: $P(x) > 0$ (o $<$, $\ge$, $\le$). 2. Se buscan las **raíces** del polinomio. 3. Las raíces dividen la recta en intervalos donde el signo no cambia. Se prueba un punto de cada uno (o se usa la factorización). 4. Se eligen los intervalos con el signo pedido; si la desigualdad es $\ge$ o $\le$, se incluyen las raíces. Para $ax^2 + bx + c$ con $a > 0$: es **negativo entre** las raíces y **positivo fuera**. Si no tiene raíces reales, tiene siempre el signo de $a$. ### Racionales Para $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$: 1. Raíces del numerador y del denominador. 2. **Tabla de signos** con todos los intervalos. 3. Las raíces del denominador **nunca** se incluyen (el cociente no existe ahí). **No se puede** multiplicar por el denominador para quitarlo, porque no se sabe su signo. ### Valor absoluto | Inecuación | Equivale a | | - | - | | $\lvert A\rvert < k$ | $-k < A < k$ | | $\lvert A\rvert > k$ | $A < -k$ o $A > k$ | $|x - a| < r$ son los puntos a distancia menor que $r$ de $a$: el intervalo $(a - r, a + r)$. ### Sistemas Con una incógnita: se resuelve cada inecuación y se toma la **intersección**. Con dos incógnitas (inecuaciones lineales en $x$, $y$): cada una es un **semiplano**, y la solución es la región común. Es la base de la **programación lineal**. ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Primer grado > > $3(x - 2) - 5 \ge 7x + 1$: $3x - 11 \ge 7x + 1 \Rightarrow -4x \ge 12 \Rightarrow x \le -3$. > > Solución: $(-\infty, -3]$. > [accordion] Ejemplo 2 · Segundo grado > > $x^2 - x - 6 < 0$. Raíces: $x = -2$ y $x = 3$. Como $a > 0$, es negativo entre las raíces. > > Solución: $(-2, 3)$. > [accordion] Ejemplo 3 · Segundo grado sin raíces > > $x^2 + 2x + 5 > 0$: $\Delta = 4 - 20 < 0$, no tiene raíces y $a > 0$: es positivo siempre. Solución: $\mathbb{R}$. > > Y $x^2 + 2x + 5 < 0$ no tiene solución. > [accordion] Ejemplo 4 · Polinómica > > $x^3 - 4x \ge 0 \Rightarrow x(x - 2)(x + 2) \ge 0$. Raíces: −2, 0, 2. > > | Intervalo | $(-\infty, -2)$ | $(-2, 0)$ | $(0, 2)$ | $(2, \infty)$ | > | - | - | - | - | - | > | Signo | − | + | − | + | > > Solución: $[-2, 0] \cup [2, +\infty)$. > [accordion] Ejemplo 5 · Racional > > $\frac{x + 1}{x - 3} \le 0$. Raíz del numerador: −1 (incluida). Del denominador: 3 (excluida). > > | Intervalo | $(-\infty, -1)$ | $(-1, 3)$ | $(3, \infty)$ | > | - | - | - | - | > | Signo | + | − | + | > > Solución: $[-1, 3)$. > [accordion] Ejemplo 6 · Valor absoluto > > $|2x - 1| < 5 \Rightarrow -5 < 2x - 1 < 5 \Rightarrow -2 < x < 3$. Solución: $(-2, 3)$. > > $|x + 4| \ge 2 \Rightarrow x \le -6$ o $x \ge -2$. Solución: $(-\infty, -6] \cup [-2, +\infty)$. > [accordion] Ejemplo 7 · Problema > > Una empresa tiene un beneficio $B(x) = -x^2 + 40x - 300$ (en miles de euros) al vender $x$ miles de unidades. ¿Cuándo hay beneficio? > > $-x^2 + 40x - 300 > 0 \Rightarrow x^2 - 40x + 300 < 0$. Raíces: 10 y 30. Hay beneficio si vende entre 10 000 y 30 000 unidades. ## Errores frecuentes * **No cambiar el sentido** al multiplicar o dividir por un negativo. * **Multiplicar por el denominador** en una inecuación racional sin saber su signo. * **Incluir las raíces del denominador** en la solución. * **Resolver $x^2 < 9$ como $x < 3$.** La solución es $-3 < x < 3$. * **Usar corchetes con el infinito.** ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Para qué sirven las inecuaciones en la práctica? > > Para calcular dominios de funciones (el radicando de una raíz cuadrada debe ser $\ge 0$; el argumento de un logaritmo, $> 0$), para acotar errores, y en la programación lineal, que optimiza costes o beneficios con restricciones de recursos. > [accordion] ¿Puedo comprobar la solución? > > Sí: toma un número de dentro de la solución y otro de fuera y sustitúyelos en la inecuación original. El de dentro debe cumplirla y el de fuera no. Comprueba también los extremos. ## Temas relacionados > [card] [Ecuación de segundo grado](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra/ecuacion-segundo-grado.md) > > Las raíces que delimitan los intervalos. > [card] [Factorizar polinomios](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra/polinomios.md) > > Factorizar para la tabla de signos. > [card] [Transformaciones de funciones](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/funciones.md) > > Ver la solución en la gráfica. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.