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# Factorizar polinomios: factor común, identidades notables y Ruffini

> Cómo factorizar polinomios paso a paso: factor común, identidades notables, regla de Ruffini, teorema del resto y del factor, raíces racionales, raíces dobles y ejemplos resueltos.

<Card title="Abrir la herramienta" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/polinomios">
  Factoriza cualquier polinomio paso a paso, con la tabla de Ruffini.
</Card>

Igual que $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, un polinomio se puede escribir como producto de polinomios más sencillos. **Factorizar** sirve para encontrar las raíces (los valores que lo anulan), simplificar fracciones algebraicas y resolver ecuaciones de grado alto. Hay un orden de ataque que funciona casi siempre.

## Lo que vas a aprender

* Qué es una raíz de un polinomio y su relación con los factores.
* El orden para factorizar: factor común, identidades notables, Ruffini y fórmula de segundo grado.
* La regla de Ruffini y qué valores probar.
* Qué es una raíz doble y qué polinomios no se pueden factorizar más.

## Cómo se usa la herramienta

1. Escribe el polinomio, por ejemplo `x^3 − 2x^2 − x + 2`. Los botones ayudan con `x`, `x²`, `x³`, `xⁿ`, paréntesis y `−`.
2. Pulsa **Factorizar**.
3. Verás la factorización, las raíces y el **paso a paso**, con la tabla de Ruffini dibujada y la comprobación final.

Los botones de **Ejemplos** cargan casos típicos: con factor común, identidades notables, bicuadrados y raíces irracionales.

## Fundamentos teóricos

### Raíces y factores

Un número $a$ es **raíz** de $P(x)$ si $P(a) = 0$.

* **Teorema del resto**: el resto de dividir $P(x)$ entre $(x - a)$ es $P(a)$.
* **Teorema del factor**: $a$ es raíz si y solo si $(x - a)$ es factor de $P(x)$.

Un polinomio de grado $n$ tiene como mucho $n$ raíces reales.

### El orden para factorizar

1. **Factor común**: saca el número o la potencia de $x$ que esté en todos los términos. $2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4)$.
2. **Identidades notables**:
   * $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
   * $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
   * $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
3. **Ruffini** (grado 3 o más): busca raíces entre los divisores del término independiente.
4. **Fórmula de segundo grado** para el factor cuadrático que quede.

### La regla de Ruffini

Divide un polinomio entre $(x - a)$ usando solo los coeficientes:

1. Escribe los coeficientes en orden, poniendo 0 en los que falten.
2. Baja el primero.
3. Multiplícalo por $a$ y súmalo al siguiente. Repite.
4. El último número es el **resto**; los demás, los coeficientes del cociente.

Si el resto es 0, $a$ es raíz.

### ¿Qué valores probar?

Las raíces **enteras** posibles son los divisores del término independiente, con signo + y −. Si el coeficiente principal no es 1, también las fracciones $p/q$ con $p$ divisor del término independiente y $q$ del coeficiente principal.

### Raíces dobles y polinomios irreducibles

* Una **raíz doble** aparece dos veces: $(x - 3)^2$. La gráfica toca el eje X sin cruzarlo.
* $x^2 + 1$ no tiene raíces reales: no se puede factorizar en los reales.
* $x^2 - 2 = (x - \sqrt2)(x + \sqrt2)$: raíces irracionales, que Ruffini no encuentra.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Ruffini" defaultOpen>
    $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Divisores de 2: ±1, ±2.

    Con $x = 1$: coeficientes 1, −2, −1, 2 → bajamos 1; $1 \cdot 1 - 2 = -1$; $-1 \cdot 1 - 1 = -2$; $-2 \cdot 1 + 2 = 0$. Resto 0.

    $P(x) = (x - 1)(x^2 - x - 2)$, y $x^2 - x - 2 = 0$ da $x = 2$ y $x = -1$.

    **Solución:** $(x + 1)(x - 1)(x - 2)$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Factor común e identidad">
    $2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x + 2)(x - 2)$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Bicuadrada">
    $x^4 - 5x^2 + 4$. Con $t = x^2$: $t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4)$.

    $(x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · Raíz doble">
    $x^3 - 3x + 2$: con $x = 1$, cociente $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$.

    $(x - 1)^2(x + 2)$: $x = 1$ es raíz doble.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 5 · Coeficiente principal distinto de 1">
    $6x^2 - x - 1$: raíces $x = \dfrac{1 \pm 5}{12}$, es decir, $\tfrac12$ y $-\tfrac13$.

    $6\left(x - \tfrac12\right)\left(x + \tfrac13\right) = (2x - 1)(3x + 1)$.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Olvidar los ceros** de los coeficientes que faltan en Ruffini ($x^3 - 1$ son 1, 0, 0, −1).
* **Cambiar el signo de la raíz**: si $a = 2$ es raíz, el factor es $(x - 2)$, no $(x + 2)$.
* **Olvidar el coeficiente principal** al escribir la factorización final.
* **Probar solo valores positivos.**

## Preguntas frecuentes

<AccordionGroup>
  <Accordion title="¿Todos los polinomios se pueden factorizar?">
    No siempre con números racionales. $x^2 + 1$ no tiene raíces reales y $x^2 - 2$ las tiene irracionales. Un polinomio de grado 3 o más sin raíces racionales no se puede seguir factorizando con Ruffini.
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Para qué sirve factorizar?">
    Para resolver ecuaciones de grado alto, simplificar fracciones algebraicas, estudiar el signo de un polinomio (inecuaciones) y calcular límites con indeterminación 0/0.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Ecuación de segundo grado" icon="calculator" href="/matematicas/algebra/ecuacion-segundo-grado">
    El último paso de la factorización.
  </Card>

  <Card title="Límites paso a paso" icon="calculator" href="/matematicas/calculo/limites">
    Factorizar para resolver 0/0.
  </Card>

  <Card title="Factores primos" icon="calculator" href="/matematicas/numeros/factorizacion">
    La misma idea con números.
  </Card>
</CardGroup>


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