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# Sistemas de ecuaciones 2×2: Cramer, sustitución, igualación y reducción

> Resuelve sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: regla de Cramer, métodos de sustitución, igualación y reducción, interpretación gráfica y sistemas incompatibles e indeterminados.

<Card title="Abrir la calculadora" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/sistemas-ecuaciones">
  Resuelve sistemas 2×2 por Cramer e indica si son incompatibles o indeterminados.
</Card>

Cuando un problema tiene dos cantidades desconocidas, hacen falta dos ecuaciones para encontrarlas: un **sistema**. Cada ecuación lineal con dos incógnitas es una **recta**, y resolver el sistema es encontrar dónde se cortan.

## Cómo se usa la calculadora

1. El sistema tiene la forma $ax + by = c$, $dx + ey = f$.
2. Escribe los seis coeficientes: **a**, **b**, **c** de la primera ecuación y **d**, **e**, **f** de la segunda.
3. La calculadora da la solución, el **determinante** $D$ y los cálculos $x = D_x/D$, $y = D_y/D$, o te avisa si el sistema no tiene solución única.

## Fundamentos teóricos

### Tipos de sistemas

| Tipo | Soluciones | Rectas |
| - | - | - |
| Compatible determinado | Una | Se cortan en un punto |
| Compatible indeterminado | Infinitas | Son la misma recta |
| Incompatible | Ninguna | Paralelas |

### Regla de Cramer

$$
D = \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} = ae - bd
$$

Si $D \ne 0$, la solución es única:

$$
x = \frac{D_x}{D} = \frac{ce - bf}{ae - bd} \qquad y = \frac{D_y}{D} = \frac{af - cd}{ae - bd}
$$

$D_x$ se obtiene cambiando la columna de las $x$ por los términos independientes, y $D_y$, la de las $y$.

Si $D = 0$, las rectas tienen la misma pendiente: son **paralelas** (incompatible) o **coincidentes** (indeterminado).

### Los métodos de clase

* **Sustitución**: despeja una incógnita en una ecuación y sustitúyela en la otra.
* **Igualación**: despeja la misma incógnita en las dos e iguala.
* **Reducción**: multiplica las ecuaciones por números que hagan que, al sumarlas, desaparezca una incógnita.

Los tres dan la misma solución. Elige el que deje las cuentas más sencillas.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Cramer" defaultOpen>
    $2x + 3y = 8$; $x - y = -1$.

    $D = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 = -5$. $D_x = 8 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1) = -5$. $D_y = 2 \cdot (-1) - 8 \cdot 1 = -10$.

    $x = -5/-5 = 1$; $y = -10/-5 = 2$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · El mismo, por sustitución">
    De la segunda: $x = y - 1$. Sustituyendo: $2(y - 1) + 3y = 8 \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y = 2$, $x = 1$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Incompatible e indeterminado">
    $x + y = 2$; $2x + 2y = 5$: $D = 0$ y la segunda dice $x + y = 2{,}5$. Contradicción: **incompatible**.

    $x + y = 2$; $2x + 2y = 4$: la segunda es la primera multiplicada por 2. **Indeterminado**: $y = 2 - x$ para cualquier $x$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · Un problema">
    En una granja hay gallinas y conejos: 30 cabezas y 80 patas. ¿Cuántos hay de cada?

    $g + c = 30$; $2g + 4c = 80$. Por reducción: restando el doble de la primera, $2c = 20 \Rightarrow c = 10$, $g = 20$.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Ordenar mal las ecuaciones**: las $x$ en una columna, las $y$ en otra y los números a la derecha del igual.
* **Equivocarse de signo** en los determinantes.
* **Concluir "sin solución"** sin distinguir entre incompatible e indeterminado.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Calculadora de matrices" icon="table-cells" href="/matematicas/algebra-lineal/calculadora-matrices">
    Sistemas mayores con Gauss.
  </Card>

  <Card title="Resolver ecuaciones" icon="calculator" href="/matematicas/algebra/ecuaciones">
    Una ecuación con una incógnita.
  </Card>

  <Card title="Matrices como transformaciones" icon="vector-square" href="/matematicas/algebra-lineal/matrices">
    El determinante como área.
  </Card>
</CardGroup>


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