> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Funciones y cálculo: temas, ideas clave y simuladores > Funciones y cálculo: transformaciones de funciones, límites, derivadas, integrales, polinomio de Taylor y funciones de varias variables. El **cálculo** es el lenguaje del cambio. Con él se calcula la velocidad de un objeto, el área bajo una curva, el máximo beneficio de una empresa o la forma de una órbita. Se apoya en una idea, el **límite**, y dos operaciones inversas: la **derivada** (cómo cambia algo) y la **integral** (cuánto se acumula). ## Las ideas clave del bloque ### Funciones Una función asocia a cada $x$ un único $y$. Muchas funciones son una elemental ($x^2$, $\sin x$, $e^x$…) desplazada o estirada: $y = a\,f(b(x - c)) + d$. ### Límites $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ es el valor al que se acerca $f$ cuando $x$ se acerca a $a$. Las indeterminaciones ($0/0$, $\infty/\infty$…) se resuelven factorizando, comparando grados o con la regla de L'Hôpital. ### Derivada $$ f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$ Es la pendiente de la tangente. Su signo dice dónde crece o decrece la función y sus ceros, dónde puede haber máximos y mínimos. ### Integral $$ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $$ Es el área (con signo) bajo la curva, y se calcula con una primitiva: el **teorema fundamental del cálculo** dice que integrar y derivar son operaciones inversas. ### Más allá El **polinomio de Taylor** aproxima funciones con polinomios, y las **funciones de varias variables** extienden derivadas y tangentes a superficies. ## Orden recomendado Mueve a, b, c y d en y = a·f(b(x − c)) + d y mira cómo se transforma la gráfica. Escribe la función y el punto: verás la indeterminación y cómo se resuelve, con tabla de valores y gráfica. Escribe una función y mira qué regla se aplica en cada parte, con la gráfica de f y f′. Integrales inmediatas y definidas con cada regla explicada y el área dibujada. La tangente sigue al ratón, la secante muestra el límite y las sumas de Riemann se acercan al área exacta. Aproxima cualquier función por su polinomio de Taylor, sube el grado y mira el error. Escribe una función de dos variables, gírala en 3D y mira sus derivadas, su gradiente y su plano tangente. ## Temas de este bloque Cómo cambia la gráfica de y = a·f(b(x − c)) + d: desplazamientos horizontales y verticales, estiramientos, compresiones y reflexiones, con las funciones elementales y ejemplos. Cómo calcular límites paso a paso: sustitución, indeterminaciones 0/0, ∞/∞, ∞−∞ y 1^∞, factorización, regla de L'Hôpital, límites laterales y en el infinito, con tabla de valores. Calcula derivadas paso a paso: tabla de derivadas, reglas de la suma, producto, cociente y cadena, derivadas de potencias, exponenciales, logaritmos y trigonométricas, con ejemplos. Calcula integrales paso a paso: tabla de integrales inmediatas, linealidad, integrales de tipo potencia, cambio de variable sencillo e integral definida con la regla de Barrow y el área. Qué es la derivada (pendiente de la tangente, límite de las secantes) y la integral (área, sumas de Riemann), el teorema fundamental del cálculo y cómo se relacionan, con un simulador. El polinomio de Taylor explicado: fórmula, desarrollos de Maclaurin de eˣ, sen x, cos x y ln(1+x), error y resto de Lagrange, radio de convergencia y ejemplos resueltos. Funciones de dos variables en 3D: curvas de nivel, derivadas parciales, gradiente, plano tangente y clasificación de puntos críticos con el hessiano (máximos, mínimos y puntos de silla). ## Simuladores de cálculo en Simulab Mueve a, b, c y d en y = a·f(b(x − c)) + d y mira cómo se transforma la gráfica. Escribe la función y el punto: verás la indeterminación y cómo se resuelve, con tabla de valores y gráfica. Escribe una función y mira qué regla se aplica en cada parte, con la gráfica de f y f′. Integrales inmediatas y definidas con cada regla explicada y el área dibujada. La tangente sigue al ratón, la secante muestra el límite y las sumas de Riemann se acercan al área exacta. Aproxima cualquier función por su polinomio de Taylor, sube el grado y mira el error. Escribe una función de dos variables, gírala en 3D y mira sus derivadas, su gradiente y su plano tangente. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.