> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Aplicaciones de la integral: áreas entre curvas, volúmenes de revolución y más > Aplicaciones de la integral definida: área bajo una curva, área entre dos curvas, volúmenes de revolución por discos, arandelas y capas cilíndricas, longitud de arco, valor medio de una función y aplicaciones físicas (trabajo, desplazamiento, centro de masas), con ejemplos resueltos. La integral definida no solo da áreas: sirve para calcular **cualquier magnitud que se obtenga sumando muchas partes pequeñas**. Volúmenes de cuerpos con forma curva, longitudes de cables, el trabajo de una fuerza que cambia, la distancia recorrida con una velocidad variable o la temperatura media de un día. La idea es siempre la misma: trocear, aproximar cada trozo y sumar. ## Lo que vas a aprender * Cómo calcular el área encerrada por una curva y por dos curvas. * Los volúmenes de revolución por discos, arandelas y capas. * La longitud de un arco de curva. * El valor medio de una función. * Algunas aplicaciones en física. ## Fundamentos teóricos ### Área bajo una curva $$ A = \int_a^b |f(x)|\,dx $$ Si $f$ cambia de signo, hay que separar los tramos en los ceros de $f$ y sumar los valores absolutos, porque la integral cuenta con signo lo que queda por debajo del eje. ### Área entre dos curvas $$ A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx \quad \text{con } f \ge g \text{ en } [a, b] $$ Los límites suelen ser los **puntos de corte**, que se obtienen resolviendo $f(x) = g(x)$. Si las curvas se cruzan dentro del intervalo, se separa en tramos. ### Volúmenes de revolución Al girar una región alrededor de un eje se forma un sólido: | Método | Cuándo | Fórmula (giro alrededor del eje $x$) | | - | - | - | | **Discos** | Región entre $f$ y el eje | $V = \pi\int_a^b f(x)^2\,dx$ | | **Arandelas** | Región entre dos curvas $f \ge g$ | $V = \pi\int_a^b \big(f(x)^2 - g(x)^2\big)\,dx$ | | **Capas cilíndricas** | Giro alrededor del eje $y$ | $V = 2\pi\int_a^b x\,f(x)\,dx$ | En el de arandelas se restan los **cuadrados**, no se eleva al cuadrado la resta. ### Longitud de arco $$ L = \int_a^b\sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx $$ Sale de sumar trocitos de hipotenusa $\sqrt{dx^2 + dy^2}$. A menudo la integral no tiene primitiva elemental y se calcula con [integración numérica](https://apuntes.simulab.es/matematicas/metodos-numericos/integracion-numerica.md). ### Valor medio $$ \bar f = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx $$ Es la altura del rectángulo que tiene la misma área que la región bajo la curva. Por el **teorema del valor medio**, la función alcanza ese valor en algún punto del intervalo (si es continua). ### Aplicaciones físicas | Magnitud | Integral | | - | - | | Desplazamiento | $\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt$ | | Trabajo de una fuerza variable | $W = \int_a^b F(x)\,dx$ | | Carga eléctrica | $Q = \int I(t)\,dt$ | | Masa con densidad variable | $m = \int\rho(x)\,dx$ | ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Área con cambio de signo > > Área entre $f(x) = x^2 - 4$ y el eje $x$ en $[0, 3]$. $f$ cambia de signo en $x = 2$. > > $\int_0^2(x^2 - 4)\,dx = \frac83 - 8 = -\frac{16}{3}$; $\int_2^3(x^2 - 4)\,dx = \frac{19}{3} - 4 = \frac73$. > > Área $= \frac{16}{3} + \frac73 = \frac{23}{3} \approx 7{,}67$. La integral sin separar daría $-3$, que no es un área. > [accordion] Ejemplo 2 · Área entre dos curvas > > Entre $y = x^2$ e $y = x + 2$. Cortes: $x^2 = x + 2 \Rightarrow x = -1, 2$. En medio, la recta está por encima. > > $A = \int_{-1}^{2}(x + 2 - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} + \frac76 = \frac92$. > [accordion] Ejemplo 3 · Volumen de un cono > > Al girar $y = \frac{r}{h}x$ en $[0, h]$ alrededor del eje $x$: > > $V = \pi\int_0^h\frac{r^2}{h^2}x^2\,dx = \pi\frac{r^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3} = \frac13\pi r^2h$. > [accordion] Ejemplo 4 · Volumen de una esfera > > Al girar $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ en $[-R, R]$: > > $V = \pi\int_{-R}^{R}(R^2 - x^2)\,dx = \pi\left(2R^3 - \frac{2R^3}{3}\right) = \frac43\pi R^3$. > [accordion] Ejemplo 5 · Arandelas > > Región entre $y = x$ e $y = x^2$ (en $[0, 1]$) girando alrededor del eje $x$: > > $V = \pi\int_0^1(x^2 - x^4)\,dx = \pi\left(\frac13 - \frac15\right) = \frac{2\pi}{15}$. > [accordion] Ejemplo 6 · Valor medio > > Temperatura a lo largo del día: $T(t) = 15 + 8\operatorname{sen}\frac{\pi(t - 9)}{12}$, con $t$ en horas. Media entre las 9 y las 21 h: > > $\bar T = \frac{1}{12}\int_9^{21}T\,dt = 15 + \frac{8}{12}\cdot\frac{12}{\pi}\cdot2 = 15 + \frac{16}{\pi} = 20{,}1$ °C. > [accordion] Ejemplo 7 · Trabajo para estirar un muelle > > Un muelle con $k = 200$ N/m (ley de Hooke, $F = kx$). Trabajo para estirarlo de 0 a 0,1 m: > > $W = \int_0^{0{,}1}200x\,dx = 100\cdot0{,}01 = 1$ J. ## Errores frecuentes * **Integrar sin separar los tramos** donde la función cambia de signo. * **Restar al revés** en el área entre curvas: es la de arriba menos la de abajo. * **Calcular $(f - g)^2$** en lugar de $f^2 - g^2$ en las arandelas. * **Olvidar el factor $\pi$** en los volúmenes de revolución. * **Usar mal los límites**: en el área entre curvas son los puntos de corte, que hay que calcular. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Cuándo uso discos y cuándo capas? > > Depende de cómo se describa mejor la región. Si al girar alrededor del eje $y$ la función está escrita como $y = f(x)$ y despejar $x$ es difícil, las capas cilíndricas evitan despejar. Si es fácil, discos con $x = g(y)$. > [accordion] ¿Y los volúmenes de cuerpos que no son de revolución? > > Si se conoce el área $A(x)$ de cada sección perpendicular a un eje, $V = \int A(x)\,dx$ (principio de Cavalieri). Para cuerpos más generales se usan [integrales dobles y triples](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/integrales-multiples.md). ## Temas relacionados > [card] [Derivada e integral](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/calculo.md) > > Sumas de Riemann y área bajo la curva. > [card] [Integrales paso a paso](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/integrales.md) > > Calcula las primitivas. > [card] [Áreas y perímetros](https://apuntes.simulab.es/matematicas/geometria/areas-perimetros.md) > > Áreas de figuras planas. 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