> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Aplicaciones del polinomio de Taylor: límites, errores y aproximaciones > Cómo se usa Taylor en la práctica: cálculo de límites con infinitésimos y notación o pequeña, acotar el error con el resto de Lagrange, aproximaciones de ángulo pequeño, linealización y estudio de extremos, con ejemplos resueltos. El polinomio de Taylor no es solo una forma de aproximar funciones: es una **herramienta de trabajo**. Con él se resuelven límites que con L'Hôpital serían eternos, se garantiza cuántas cifras exactas tiene una aproximación y se simplifican los modelos de física e ingeniería. Este tema reúne esos usos con ejemplos. La fórmula y los desarrollos básicos están en el tema [Polinomio de Taylor](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/taylor.md). ## Lo que vas a aprender * Qué significa la notación $o(x^n)$ y cómo se opera con ella. * Cómo resolver límites indeterminados sustituyendo cada función por su desarrollo. * Cómo acotar el error de una aproximación con el resto de Lagrange. * Las aproximaciones de primer orden que aparecen en física e ingeniería. * Cómo decidir si un punto crítico es máximo, mínimo o inflexión. ## Fundamentos teóricos ### Recordatorio: la fórmula de Taylor $$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x) $$ con el **resto de Lagrange** $$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \qquad \xi \text{ entre } a \text{ y } x $$ ### La notación o pequeña $g(x) = o(x^n)$ cuando $x \to 0$ significa que $g(x)/x^n \to 0$: $g$ es **despreciable frente a** $x^n$. Así, los desarrollos de Maclaurin se escriben $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) \qquad \operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) $$ Reglas para operar: | Regla | Ejemplo | | - | - | | $o(x^n) \pm o(x^n) = o(x^n)$ | Los restos no se cancelan entre sí | | $x^m \cdot o(x^n) = o(x^{m+n})$ | Multiplicar sube el orden | | $o(x^n) + o(x^m) = o(x^{\min(n,m)})$ | Manda el orden más bajo | | $c \cdot o(x^n) = o(x^n)$ | Las constantes no importan | ### Límites con Taylor Para un límite $0/0$ en $x \to 0$: 1. Desarrolla el **denominador** hasta su primer término no nulo, de orden $x^k$. 2. Desarrolla el **numerador** hasta el mismo orden $k$. 3. Simplifica: los términos de orden menor que $k$ deben cancelarse, y el límite es el cociente de los coeficientes de $x^k$. Si el límite es en $x \to a$, se cambia a $t = x - a$ para llevarlo a $t \to 0$. ### Infinitésimos equivalentes Quedarse con el primer término del desarrollo da las equivalencias de siempre, cuando $x \to 0$: $$ \operatorname{sen} x \sim x \quad \tan x \sim x \quad 1-\cos x \sim \tfrac{x^2}{2} \quad e^x - 1 \sim x \quad \ln(1+x) \sim x $$ Solo se pueden usar en **productos y cocientes**, nunca en sumas o restas: ahí hay que desarrollar más términos. ### Acotar el error Si se conoce una cota $|f^{(n+1)}(\xi)| \le M$ en el intervalo, el error al aproximar con el polinomio de grado $n$ cumple $$ |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1} $$ Para series **alternadas** con términos decrecientes hay un atajo: el error es menor que el primer término despreciado. ### Aproximaciones de primer orden | Aproximación | Dónde aparece | | - | - | | $\operatorname{sen}\theta \approx \theta$ | Péndulo simple, óptica paraxial | | $\cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ | Energía potencial del péndulo | | $(1+x)^n \approx 1 + nx$ | Dilatación térmica, relatividad, errores relativos | | $e^{x} \approx 1 + x$ | Crecimiento con tasas pequeñas | | $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$ | **Linealización** de sistemas no lineales | La linealización es la base del análisis de pequeña señal de los transistores y del estudio de estabilidad de sistemas de control. ### Clasificar puntos críticos Si $f'(a) = \cdots = f^{(n-1)}(a) = 0$ y $f^{(n)}(a) \ne 0$, cerca de $a$ la función se comporta como $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$: * $n$ **par** y $f^{(n)}(a) > 0$: mínimo. $n$ par y $f^{(n)}(a) < 0$: máximo. * $n$ **impar**: punto de inflexión, ni máximo ni mínimo. ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Límite con seno > > Calcula $\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{x - \operatorname{sen} x}{x^3}$. > > El denominador es de orden 3. Desarrollamos el seno hasta orden 3: > > $x - \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) = \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ > > El límite es $\frac{1}{6}$. Con L'Hôpital habría que derivar tres veces. > [accordion] Ejemplo 2 · Límite con exponencial y coseno > > Calcula $\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^2}$. > > $e^{x^2} = 1 + x^2 + o(x^2)$ y $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$. > > Numerador: $x^2 + \frac{x^2}{2} + o(x^2) = \frac32 x^2 + o(x^2)$. Límite: $\frac32$. > [accordion] Ejemplo 3 · Por qué no se pueden usar equivalencias en una resta > > $\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\tan x - \operatorname{sen} x}{x^3}$. > > Si se sustituye $\tan x \sim x$ y $\operatorname{sen} x \sim x$, el numerador da 0 y el límite parece 0. **Es falso.** > > Desarrollando: $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$, $\operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$. La resta es $\frac{x^3}{2} + o(x^3)$ y el límite es $\frac12$. > [accordion] Ejemplo 4 · ¿Cuántos términos para 6 decimales? > > ¿Con qué grado aproxima Maclaurin $e$ (es decir, $e^1$) con error menor que $10^{-6}$? > > Todas las derivadas de $e^x$ son $e^x \le e^1 < 3$ en $[0, 1]$. El error es $|R_n| \le \frac{3}{(n+1)!}$. > > $(n+1)! > 3 \cdot 10^6$: $9! = 362\,880$ no basta, $10! = 3\,628\,800$ sí. Con $n = 9$ se tienen 6 decimales exactos. > [accordion] Ejemplo 5 · Raíz cuadrada aproximada > > Aproxima $\sqrt{1{,}02}$ con $(1+x)^{1/2} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8}$. > > $\sqrt{1{,}02} \approx 1 + 0{,}01 - 0{,}00005 = 1{,}00995$. El valor real es $1{,}0099505$: el error es del orden de $10^{-7}$. > [accordion] Ejemplo 6 · Clasificar un punto crítico > > $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x$ en $x = 1$: $f'(1) = f''(1) = f'''(1) = 0$ y $f^{(4)}(1) = 24 > 0$. > > El primer orden no nulo es 4, par y positivo: **mínimo**. De hecho $f(x) = (x-1)^4 - 1$. ## Errores frecuentes * **Usar infinitésimos equivalentes en sumas y restas.** Solo valen en productos y cocientes. * **No desarrollar hasta el orden necesario.** Si el denominador es $x^3$, el numerador se desarrolla hasta $x^3$; quedarse en $x$ da un resultado falso. * **Creer que $o(x^2) - o(x^2) = 0$.** Dos restos distintos no se cancelan. * **Aplicar el desarrollo en el punto equivocado.** Los de Maclaurin son válidos cerca de 0; para $x \to a$ hay que cambiar de variable. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Taylor o L'Hôpital? > > Para límites con varias funciones o que requieren derivar muchas veces, Taylor es más rápido y deja ver el orden de cada término. L'Hôpital es cómodo cuando basta con derivar una vez. > [accordion] ¿Hasta qué ángulo vale sen θ ≈ θ? > > El error relativo es aproximadamente $\theta^2/6$. Para que sea menor del 1 % hace falta $\theta < 0{,}245$ rad, unos 14°. Por eso el periodo del péndulo $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ solo es exacto para oscilaciones pequeñas. ## Temas relacionados > [card] [Polinomio de Taylor](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/taylor.md) > > La fórmula, los desarrollos básicos y el simulador. > [card] [Límites paso a paso](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/limites.md) > > Indeterminaciones y L'Hôpital. > [card] [Taylor en varias variables](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/taylor-varias-variables.md) > > Gradiente, hessiana y aproximación cuadrática. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.