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# Derivada e integral: tangente, secante y sumas de Riemann

> Qué es la derivada (pendiente de la tangente, límite de las secantes) y la integral (área, sumas de Riemann), el teorema fundamental del cálculo y cómo se relacionan, con un simulador.

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/matematicas/calculo">
  La tangente sigue al ratón, la secante muestra el límite y las sumas de Riemann se acercan al área exacta.
</Card>

El cálculo se apoya en dos ideas. La **derivada** mide lo rápido que cambia una función: es la pendiente de su tangente. La **integral** mide cuánto se acumula: es el área bajo la curva. Parecen cosas distintas, pero son operaciones **inversas**. Este simulador permite ver las dos.

## Lo que vas a aprender

* La derivada como límite de las pendientes de las secantes.
* Qué dice el signo de la derivada sobre la función.
* La integral definida como límite de sumas de Riemann.
* Los distintos métodos de aproximación y su precisión.
* El teorema fundamental del cálculo.

## Cómo se usa el simulador

* **Modo**: **Derivada** o **Integral**.
* **Función**: $x^2$, $x^3 - 3x$, $\sin x$, $e^x$ o $x \sin x$.

**Derivada**

* Mueve el punto **x₀** (o el ratón sobre la gráfica): la tangente te sigue y abajo se dibuja $f'(x)$.
* Activa la **secante** y reduce **h**: verás cómo se pega a la tangente. El panel compara las dos pendientes.

**Integral**

* Elige los límites **a** y **b**, el número de rectángulos **n** y el método: **izquierda**, **derecha**, **punto medio** o **trapecios**. Compara la suma con el valor exacto.

## Fundamentos teóricos

### Tasa de variación media: la secante

La pendiente de la recta que pasa por $(x_0, f(x_0))$ y $(x_0 + h, f(x_0 + h))$ es:

$$
\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
$$

Es la **tasa de variación media**: cuánto cambia $f$, de media, en ese intervalo.

### Derivada: la tangente

Al hacer $h$ cada vez más pequeño, la secante se convierte en la tangente:

$$
f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
$$

* $f' > 0$: $f$ **crece**.
* $f' < 0$: $f$ **decrece**.
* $f' = 0$: tangente horizontal: posible **máximo**, **mínimo** o punto de inflexión.

La derivada no existe donde hay picos, saltos o tangentes verticales.

### Integral definida: el área

Para calcular el área bajo $f$ entre $a$ y $b$, se parte el intervalo en $n$ trozos de ancho $\Delta x = (b - a)/n$ y se suman rectángulos:

$$
\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x
$$

$x_i^*$ es el punto de cada trozo donde se mide la altura: el extremo izquierdo, el derecho, el punto medio… El área **por debajo del eje X cuenta en negativo**.

### Precisión de los métodos

| Método | Error aproximado |
| - | - |
| Izquierda, derecha | Proporcional a $1/n$ |
| Punto medio, trapecios | Proporcional a $1/n^2$ |

Con el punto medio o los trapecios, duplicar $n$ divide el error entre 4.

### Teorema fundamental del cálculo

Si $F' = f$:

$$
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
$$

Derivar e integrar son operaciones inversas: la integral se calcula buscando una función cuya derivada sea la que nos dan.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Sumas de Riemann" defaultOpen>
    $\int_0^2 x^2\,dx$ con $n = 4$, $\Delta x = 0{,}5$:

    * Izquierda: $0{,}5(0 + 0{,}25 + 1 + 2{,}25) = 1{,}75$.
    * Punto medio: $0{,}5(0{,}0625 + 0{,}5625 + 1{,}5625 + 3{,}0625) = 2{,}625$.
    * Trapecios: $2{,}75$.

    Exacto: $\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac83 \approx 2{,}667$. El punto medio es el más cercano.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Derivada como límite">
    $f(x) = x^2$ en $x_0 = 1$: $\dfrac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \dfrac{2h + h^2}{h} = 2 + h \to 2$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Máximos y mínimos">
    $f(x) = x^3 - 3x$: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$. $f(-1) = 2$ es un máximo y $f(1) = -2$, un mínimo.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="De secante a tangente">
    Con $x^2$ en $x_0 = 1$, reduce $h$ de 1,5 a 0,01. ¿A qué valor se acerca la pendiente de la secante?
  </Step>

  <Step title="Tangentes horizontales">
    Con $x^3 - 3x$, busca los puntos donde la pendiente es 0. ¿Qué pasa con $f'$ ahí?
  </Step>

  <Step title="Más rectángulos">
    En el modo integral, duplica $n$ varias veces con el método de la izquierda y luego con el punto medio. ¿Cuál mejora más rápido?
  </Step>

  <Step title="Área negativa">
    Integra $\sin x$ entre 0 y $2\pi$. ¿Por qué sale 0?
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Pensar que la derivada es la función dividida entre $x$.**
* **Confundir la integral definida con el área geométrica** cuando la función cambia de signo.
* **Creer que la tangente solo toca la curva en un punto.** Puede cortarla en otros.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Derivadas paso a paso" icon="calculator" href="/matematicas/calculo/derivadas">
    Las reglas de derivación.
  </Card>

  <Card title="Integrales paso a paso" icon="calculator" href="/matematicas/calculo/integrales">
    Primitivas y regla de Barrow.
  </Card>

  <Card title="Límites paso a paso" icon="calculator" href="/matematicas/calculo/limites">
    El límite que define la derivada.
  </Card>
</CardGroup>


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