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# Integración por cambio de variable (sustitución): método y ejemplos resueltos

> Integración por sustitución o cambio de variable explicada: cuándo usarla, cómo elegir t, cambiar dx, volver a la variable original, cambio de límites en integrales definidas, cambios trigonométricos y racionales (sustitución de Weierstrass), con ejemplos resueltos paso a paso.

El **cambio de variable** (o sustitución) es la "regla de la cadena al revés". Cuando dentro de una integral aparece una función y, multiplicando, **su derivada**, se puede cambiar esa función por una variable nueva $t$ y la integral se vuelve inmediata. Es el primer método que hay que probar cuando una integral no está en la [tabla](https://apuntes.simulab.es/matematicas/formularios/tabla-integrales.md).

## Lo que vas a aprender

* La idea del cambio de variable y de dónde sale.
* Cómo reconocer cuándo se puede usar y qué $t$ elegir.
* Los pasos: cambiar la función, cambiar $dx$, integrar y deshacer el cambio.
* Cómo cambiar los límites en una integral definida.
* Los cambios trigonométricos para raíces del tipo $\sqrt{a^2 - x^2}$.
* La sustitución $t = \tan(x/2)$ para cocientes de senos y cosenos.

## Fundamentos teóricos

### La idea

Por la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))\,g'(x)$. Así que

$$
\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt \qquad \text{con } t = g(x),\ dt = g'(x)\,dx
$$

Si en la integral aparece una función $g(x)$ "dentro" de otra y su derivada $g'(x)$ multiplicando (aunque sea con otra constante), el cambio $t = g(x)$ la simplifica.

### Pasos

1. **Elegir** $t = g(x)$, normalmente lo que está "dentro": el argumento de una raíz, de una exponencial, de un logaritmo o de un seno.
2. **Derivar**: $dt = g'(x)\,dx$, y despejar $dx$ o el grupo $g'(x)\,dx$.
3. **Sustituir**: en la integral solo debe quedar $t$. Si queda alguna $x$, el cambio no sirve (o hay que despejar $x$ en función de $t$).
4. **Integrar** en $t$.
5. **Deshacer** el cambio: escribir el resultado en función de $x$.

### Integral definida: cambiar los límites

Si $t = g(x)$, cuando $x$ va de $a$ a $b$, $t$ va de $g(a)$ a $g(b)$:

$$
\int_a^b f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\,dt
$$

Así **no hace falta deshacer el cambio**.

### Cambios habituales

| Si aparece | Cambio |
| - | - |
| $f(ax + b)$ | $t = ax + b$ |
| $g'(x)\,e^{g(x)}$, $\frac{g'(x)}{g(x)}$, $g'(x)\,g(x)^n$ | $t = g(x)$ |
| $\sqrt[n]{ax + b}$ | $t^n = ax + b$ |
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $x = a\operatorname{sen}\theta$ |
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a\tan\theta$ |
| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a\sec\theta$ |
| Cociente de $\operatorname{sen} x$ y $\cos x$ | $t = \tan\frac{x}{2}$ |

### La sustitución universal t = tan(x/2)

Convierte cualquier función racional de senos y cosenos en una función racional de $t$:

$$
\operatorname{sen} x = \frac{2t}{1 + t^2} \qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \qquad dx = \frac{2\,dt}{1 + t^2}
$$

Siempre funciona, pero suele dar cuentas largas: se usa cuando no hay nada más sencillo.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · ∫ 2x (x² + 1)⁵ dx
>
> $t = x^2 + 1$, $dt = 2x\,dx$. Aparece justo $2x\,dx$:
>
> $\int t^5\,dt = \frac{t^6}{6} + C = \frac{(x^2 + 1)^6}{6} + C$.
>
> Desarrollar el binomio a la sexta habría sido mucho más largo.

> [accordion] Ejemplo 2 · ∫ x e^(x²) dx (falta una constante)
>
> $t = x^2$, $dt = 2x\,dx \Rightarrow x\,dx = \frac{dt}{2}$.
>
> $\int e^t\frac{dt}{2} = \frac{e^t}{2} + C = \frac{e^{x^2}}{2} + C$.
>
> Las constantes se ajustan sin problema; lo que no se puede es que falte una $x$.

> [accordion] Ejemplo 3 · ∫ tan x dx
>
> $\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$. Con $t = \cos x$, $dt = -\operatorname{sen} x\,dx$:
>
> $\int\frac{-dt}{t} = -\ln|t| + C = -\ln|\cos x| + C$.

> [accordion] Ejemplo 4 · Integral definida cambiando los límites
>
> $\displaystyle\int_0^2 \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}\,dx$. Con $t = x^2 + 5$: $x\,dx = \frac{dt}{2}$, y los límites pasan a $t = 5$ y $t = 9$.
>
> $\frac12\int_5^9 t^{-1/2}dt = \left[\sqrt{t}\right]_5^9 = 3 - \sqrt5 \approx 0{,}764$.

> [accordion] Ejemplo 5 · Raíz de un binomio: ∫ x √(x − 1) dx
>
> $t^2 = x - 1$: $x = t^2 + 1$, $dx = 2t\,dt$.
>
> $\int (t^2 + 1)\,t\cdot 2t\,dt = \int(2t^4 + 2t^2)\,dt = \frac{2t^5}{5} + \frac{2t^3}{3} + C$.
>
> $= \frac25(x - 1)^{5/2} + \frac23(x - 1)^{3/2} + C$.

> [accordion] Ejemplo 6 · Cambio trigonométrico: área del círculo
>
> $\displaystyle\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2 - x^2}\,dx$ es el área de medio círculo. Con $x = r\operatorname{sen}\theta$, $dx = r\cos\theta\,d\theta$, y $\theta$ de $-\pi/2$ a $\pi/2$:
>
> $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} r^2\cos^2\theta\,d\theta = r^2\left[\frac{\theta}{2} + \frac{\operatorname{sen} 2\theta}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\pi r^2}{2}$.
>
> El círculo completo mide $\pi r^2$.

> [accordion] Ejemplo 7 · ∫ dx / (1 + cos x) con t = tan(x/2)
>
> $1 + \cos x = \frac{2}{1 + t^2}$ y $dx = \frac{2\,dt}{1 + t^2}$:
>
> $\int\frac{1 + t^2}{2}\cdot\frac{2\,dt}{1 + t^2} = \int dt = t + C = \tan\frac{x}{2} + C$.

## Errores frecuentes

* **No cambiar $dx$.** Escribir $\int t^5\,dx$ mezcla variables; hay que pasar todo a $dt$.
* **Dejar $x$ sueltas** después del cambio. Si no se pueden eliminar, el cambio no es el adecuado.
* **Olvidar deshacer el cambio** en una indefinida: el resultado tiene que quedar en $x$.
* **Cambiar la variable y no los límites** en una definida (o deshacer el cambio y además usar los límites nuevos).
* **Olvidar el valor absoluto** del logaritmo: $\int\frac{dt}{t} = \ln|t|$.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Cambio de variable o por partes?
>
> Si aparece una función y su derivada (salvo constantes), cambio de variable. Si es un producto de funciones de tipos distintos sin esa relación, como $x\,e^x$, [por partes](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/integracion-por-partes.md). A veces hacen falta las dos: primero un cambio y después partes.

> [accordion] ¿Qué hago si no encuentro el cambio?
>
> Prueba con lo que esté dentro de la función más complicada (raíz, exponencial, logaritmo). Si es un cociente de polinomios, usa fracciones simples. Y si nada funciona, puede que la integral no tenga primitiva elemental, como $\int e^{-x^2}dx$: entonces toca [integración numérica](https://apuntes.simulab.es/matematicas/metodos-numericos/integracion-numerica.md).

## Temas relacionados

> [card] [Integrales paso a paso](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/integrales.md)
>
> Calcula integrales con cada regla explicada.

> [card] [Integración por partes](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/integracion-por-partes.md)
>
> Para productos de funciones.

> [card] [Tabla de integrales](https://apuntes.simulab.es/matematicas/formularios/tabla-integrales.md)
>
> Las integrales inmediatas.


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