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# Derivadas paso a paso: tabla de derivadas y reglas de derivación

> Calcula derivadas paso a paso: tabla de derivadas, reglas de la suma, producto, cociente y cadena, derivadas de potencias, exponenciales, logaritmos y trigonométricas, con ejemplos.

<Card title="Abrir la herramienta" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/derivadas">
  Escribe una función y mira qué regla se aplica en cada parte, con la gráfica de f y f′.
</Card>

Derivar es mecánico una vez que conoces **una tabla corta** de derivadas y **cuatro reglas** para combinarlas. El truco está en reconocer qué regla toca en cada parte: ¿es una suma, un producto, un cociente o una función dentro de otra? Esta herramienta descompone tu función y aplica cada regla por orden.

## Lo que vas a aprender

* La tabla de derivadas de las funciones elementales.
* Las reglas de la suma, el producto, el cociente y la cadena.
* Cómo reconocer cuál aplicar.
* Qué dice la derivada sobre la gráfica.

## Cómo se usa la herramienta

1. Escribe la función, por ejemplo `x^2 · sen(x)`. Los botones ayudan con `x²`, paréntesis, fracciones, `√`, `sen`, `cos`, `ln` y `eˣ`.
2. Pulsa **Derivar**.
3. Verás la derivada simplificada, el **paso a paso** con cada regla y la **gráfica** de $f$ y $f'$.

**Cómo escribirla:** `^` para potencias, `/` para dividir, paréntesis donde haga falta. Funciones: `sen`, `cos`, `tg`, `ln`, `√` o `sqrt`, `e^x`, `arcsen`, `arccos`, `arctg`.

## Fundamentos teóricos

### Tabla de derivadas

| $f(x)$ | $f'(x)$ |
| - | - |
| $k$ (constante) | $0$ |
| $x^n$ | $n\,x^{n-1}$ |
| $\sqrt x$ | $\dfrac{1}{2\sqrt x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ |
| $\arctan x$ | $\dfrac{1}{1 + x^2}$ |
| $\arcsin x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ |

### Reglas de derivación

| Regla | Fórmula |
| - | - |
| Suma | $(f + g)' = f' + g'$ |
| Constante por función | $(k\,f)' = k\,f'$ |
| Producto | $(f\,g)' = f'\,g + f\,g'$ |
| Cociente | $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'\,g - f\,g'}{g^2}$ |
| Cadena | $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ |

### La regla de la cadena

Es la más importante. Para derivar una función **dentro de otra**: deriva la de fuera dejando igual lo de dentro, y **multiplica por la derivada de lo de dentro**.

* $\sin(3x) \to \cos(3x) \cdot 3$
* $e^{x^2} \to e^{x^2} \cdot 2x$
* $(x^2 + 1)^3 \to 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x$
* $\ln(x^2 + 1) \to \dfrac{2x}{x^2 + 1}$

### Qué dice la derivada

* $f' > 0$: la función crece. $f' < 0$: decrece.
* $f' = 0$ y cambia de signo: máximo o mínimo.
* En física: la derivada de la posición es la velocidad, y la de la velocidad, la aceleración.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Producto" defaultOpen>
    $f(x) = x^2\sin x$: $f'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Cociente">
    $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$: $f'(x) = \dfrac{\frac1x \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Cadena">
    $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$: $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · Producto y cadena">
    $f(x) = x\,e^{2x}$: $f'(x) = e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 5 · Tangente">
    $f(x) = \tan(3x)$: $f'(x) = \dfrac{3}{\cos^2(3x)}$.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Derivar un producto multiplicando las derivadas**: $(fg)' \ne f'g'$.
* **Olvidar multiplicar por la derivada de dentro** en la regla de la cadena.
* **Equivocarse con el orden del cociente**: es $f'g - fg'$, no al revés.
* **Derivar $\cos x$ como $\sin x$**: lleva signo menos.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Derivada e integral" icon="chart-area" href="/matematicas/calculo/calculo">
    La derivada como pendiente de la tangente.
  </Card>

  <Card title="Integrales paso a paso" icon="calculator" href="/matematicas/calculo/integrales">
    La operación inversa.
  </Card>

  <Card title="Polinomio de Taylor" icon="calculator" href="/matematicas/calculo/taylor">
    Aproximar funciones con sus derivadas.
  </Card>
</CardGroup>


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