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# Transformaciones de funciones: traslaciones, dilataciones y reflexiones

> Cómo cambia la gráfica de y = a·f(b(x − c)) + d: desplazamientos horizontales y verticales, estiramientos, compresiones y reflexiones, con las funciones elementales y ejemplos.

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/matematicas/funciones">
  Mueve a, b, c y d en y = a·f(b(x − c)) + d y mira cómo se transforma la gráfica.
</Card>

No hace falta memorizar la gráfica de cada función. Casi todas las que aparecen en el instituto son una **función elemental** ($x^2$, $\sqrt x$, $\sin x$, $e^x$…) que se ha **desplazado**, **estirado** o **reflejado**. Si sabes dibujar las elementales y entiendes cuatro parámetros, puedes dibujar cualquiera de ellas a mano.

## Lo que vas a aprender

* Las gráficas de las funciones elementales.
* El efecto de cada parámetro en $y = a\,f(b(x - c)) + d$.
* Por qué los cambios "de dentro" van al revés.
* En qué orden aplicar las transformaciones.

## Cómo se usa el simulador

* **Función base**: $x^2$, $x^3$, $\sqrt x$, $|x|$, $1/x$, $\sin x$, $\cos x$, $e^x$ o $\ln x$.

| Control | Qué hace | Rango |
| - | - | - |
| **a · estiramiento vertical** | Multiplica las alturas | −4 – 4 |
| **b · estiramiento horizontal** | Comprime o estira en horizontal | −4 – 4 |
| **c · desplazamiento horizontal** | Mueve a la derecha (c > 0) | −6 – 6 |
| **d · desplazamiento vertical** | Mueve hacia arriba (d > 0) | −5 – 5 |

* La función original queda de fondo y un punto característico (vértice, máximo…) muestra adónde se mueve.
* **Qué está pasando** describe cada transformación. Los botones **Reflejar**, **Estirar ×2**, **Mover (2, 1)** y **Comprimir en x** cargan ejemplos.
* Pasa el ratón o el dedo por la gráfica para leer valores.

## Fundamentos teóricos

### Los cuatro parámetros

$$
y = a \cdot f\big(b\,(x - c)\big) + d
$$

| Parámetro | Efecto | | | | | | |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| $d > 0$ / $d < 0$ | Sube / baja \$ | d | \$ unidades | | | | |
| $c > 0$ / $c < 0$ | Mueve a la **derecha** / izquierda \$ | c | \$ unidades | | | | |
| \$ | a | > 1$/$ | a | \< 1\$ | Estira / comprime en vertical | | |
| $a < 0$ | Refleja respecto al **eje X** | | | | | | |
| \$ | b | > 1$/$ | b | \< 1\$ | **Comprime** / estira en horizontal (factor \$1/ | b | \$) |
| $b < 0$ | Refleja respecto al **eje Y** | | | | | | |

### Los cambios de dentro van al revés

$f(x - 3)$ se mueve 3 a la **derecha**, no a la izquierda: para obtener lo que $f$ valía en 0, ahora hace falta $x = 3$. Del mismo modo, $f(2x)$ recorre la función el doble de rápido y la **comprime** a la mitad.

### Orden recomendado

1. Desplazamiento horizontal ($c$).
2. Escala horizontal y reflexión respecto al eje Y ($b$), respecto a la nueva posición.
3. Escala vertical y reflexión respecto al eje X ($a$).
4. Desplazamiento vertical ($d$).

### Puntos clave que se mueven

Un punto $(x_0, y_0)$ de la gráfica de $f$ pasa a:

$$
\left(c + \frac{x_0}{b},\ a\,y_0 + d\right)
$$

Para la parábola, el vértice $(0, 0)$ pasa a $(c, d)$.

### Funciones elementales

| Función | Rasgos |
| - | - |
| $x^2$ | Parábola con vértice en el origen |
| $x^3$ | Pasa por el origen, creciente |
| $\sqrt x$ | Solo para $x \ge 0$ |
| $\lvert x\rvert$ | Forma de V |
| $1/x$ | Hipérbola con asíntotas en los ejes |
| $\sin x$, $\cos x$ | Periodo $2\pi$, entre −1 y 1 |
| $e^x$ | Siempre positiva, asíntota $y = 0$ |
| $\ln x$ | Solo para $x > 0$, asíntota $x = 0$ |

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Parábola" defaultOpen>
    $y = -2(x - 3)^2 + 1$ a partir de $y = x^2$:

    $c = 3$: 3 a la derecha. $a = -2$: el doble de estrecha y hacia abajo. $d = 1$: 1 arriba. Vértice: $(3, 1)$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Seno">
    $y = 3\sin(2x)$: amplitud 3 (entre −3 y 3) y periodo $2\pi/2 = \pi$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Exponencial">
    $y = e^{x + 1} - 2$: 1 a la izquierda y 2 abajo. La asíntota pasa de $y = 0$ a $y = -2$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · Completar el cuadrado">
    $y = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$: la parábola $x^2$ desplazada 3 a la derecha y 4 abajo. Vértice $(3, -4)$.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="Al revés">
    Con $x^2$, pon $c = 2$. ¿Hacia dónde va? Pon $b = 2$. ¿Se estrecha o se ensancha?
  </Step>

  <Step title="Reflexiones">
    Con $e^x$, cambia el signo de $a$ y luego el de $b$. ¿Respecto a qué eje se refleja cada vez?
  </Step>

  <Step title="Periodo del seno">
    Con $\sin x$, sube $b$ a 2 y a 4. ¿Cómo cambia el periodo?
  </Step>

  <Step title="Funciones pares">
    Con $\cos x$ o $|x|$, haz $b$ negativo. ¿Cambia algo? ¿Por qué?
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Mover a la izquierda con $f(x - c)$**, $c > 0$.
* **Confundir $2f(x)$ con $f(2x)$.**
* **Escribir $f(2x - 6)$ como desplazamiento de 6**: es $f(2(x - 3))$, desplazamiento de 3.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Derivada e integral" icon="chart-area" href="/matematicas/calculo/calculo">
    Tangentes y áreas bajo la curva.
  </Card>

  <Card title="Circunferencia unitaria" icon="circle" href="/matematicas/trigonometria/circunferencia-unitaria">
    De dónde salen las ondas.
  </Card>

  <Card title="Ecuación de segundo grado" icon="calculator" href="/matematicas/algebra/ecuacion-segundo-grado">
    Vértice y raíces de la parábola.
  </Card>
</CardGroup>


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