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# Integración por partes: fórmula, regla ALPES y ejemplos resueltos

> La integración por partes explicada: de dónde sale la fórmula ∫u dv = uv − ∫v du, cómo elegir u y dv con la regla ALPES, integrales cíclicas, aplicar partes varias veces, el método tabular y la integral definida, con ejemplos resueltos paso a paso.

La integración por partes es la herramienta para integrar **productos** de funciones que no se pueden simplificar: $x\,e^x$, $x^2\operatorname{sen} x$, $\ln x$ o $e^x\cos x$. Es la "regla del producto al revés": transforma una integral difícil en otra más fácil. Junto con el [cambio de variable](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/cambio-de-variable.md), es el método de integración que más se usa en bachillerato y en primero de cualquier carrera de ciencias.

## Lo que vas a aprender

* De dónde sale la fórmula de integración por partes.
* Cómo elegir qué es $u$ y qué es $dv$ con la regla ALPES.
* Cómo resolver integrales que necesitan partes dos o más veces.
* Qué son las integrales cíclicas y cómo se despejan.
* El método tabular para polinomios por exponenciales o trigonométricas.
* Cómo se aplica a integrales definidas.

## Fundamentos teóricos

### La fórmula

Se parte de la derivada de un producto: $(uv)' = u'v + uv'$. Integrando los dos lados y despejando:

$$
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
$$

Se elige una parte del integrando como $u$ (que se va a **derivar**) y el resto como $dv$ (que se va a **integrar**). El método funciona cuando la nueva integral $\int v\,du$ es más sencilla que la original.

### Cómo elegir u: la regla ALPES

Se toma como $u$ la función que aparece **antes** en esta lista:

| Letra | Tipo de función | Ejemplos |
| - | - | - |
| **A** | Arco (trigonométricas inversas) | $\arctan x$, $\operatorname{arcsen} x$ |
| **L** | Logarítmicas | $\ln x$, $\log_2 x$ |
| **P** | Polinómicas | $x$, $x^2 + 1$ |
| **E** | Exponenciales | $e^x$, $2^x$ |
| **S** | Seno y coseno | $\operatorname{sen} x$, $\cos 3x$ |

La idea: las de arriba se simplifican al derivar ($\ln x \to 1/x$, $x^2 \to 2x$) y las de abajo no se complican al integrar ($e^x \to e^x$). En inglés se conoce como **ILATE** o **LIATE**.

### Integrales cíclicas

Con $e^{ax}\operatorname{sen}(bx)$ o $e^{ax}\cos(bx)$, al aplicar partes dos veces **vuelve a aparecer la integral original**. No es un bucle sin salida: se llama $I$ a la integral, se obtiene una ecuación del tipo $I = \text{algo} - k\,I$ y se despeja $I$.

### Método tabular

Para $\int P(x)\,f(x)\,dx$ con $P$ polinomio y $f$ una exponencial, seno o coseno:

1. En una columna se deriva $P$ hasta llegar a 0.
2. En otra se integra $f$ el mismo número de veces.
3. Se multiplican en diagonal con signos alternos $+, -, +, \dots$ y se suman.

Evita escribir tres o cuatro veces la fórmula de partes.

### Integral definida

$$
\int_a^b u\,dv = \Big[u\,v\Big]_a^b - \int_a^b v\,du
$$

Los límites se aplican a los dos términos.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · ∫ x eˣ dx
>
> Polinómica antes que exponencial: $u = x$, $dv = e^x dx$. Entonces $du = dx$, $v = e^x$.
>
> $\int x\,e^x dx = x\,e^x - \int e^x dx = x\,e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$.
>
> Comprobación: $\frac{d}{dx}[e^x(x-1)] = e^x(x - 1) + e^x = x\,e^x$. ✓

> [accordion] Ejemplo 2 · ∫ ln x dx
>
> Parece que no hay producto, pero se puede escribir $\ln x \cdot 1$: $u = \ln x$, $dv = dx$. Entonces $du = \frac{dx}{x}$, $v = x$.
>
> $\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C$.
>
> El mismo truco sirve para $\int \arctan x\,dx$ y $\int \operatorname{arcsen} x\,dx$.

> [accordion] Ejemplo 3 · ∫ x² sen x dx (partes dos veces)
>
> $u = x^2$, $dv = \operatorname{sen} x\,dx$: $du = 2x\,dx$, $v = -\cos x$.
>
> $= -x^2\cos x + 2\int x\cos x\,dx$.
>
> Otra vez partes con $u = x$, $dv = \cos x\,dx$: $\int x\cos x\,dx = x\operatorname{sen} x + \cos x$.
>
> Resultado: $-x^2\cos x + 2x\operatorname{sen} x + 2\cos x + C$.

> [accordion] Ejemplo 4 · El mismo con el método tabular
>
> | Signo | Derivadas de $x^2$ | Integrales de $\operatorname{sen} x$ |
> | - | - | - |
> | + | $x^2$ | $-\cos x$ |
> | − | $2x$ | $-\operatorname{sen} x$ |
> | + | $2$ | $\cos x$ |
> | | $0$ | |
>
> Diagonales: $x^2(-\cos x) - 2x(-\operatorname{sen} x) + 2\cos x$. Mismo resultado en una línea.

> [accordion] Ejemplo 5 · Integral cíclica ∫ eˣ cos x dx
>
> $I = \int e^x\cos x\,dx$. Con $u = \cos x$, $dv = e^x dx$: $I = e^x\cos x + \int e^x\operatorname{sen} x\,dx$.
>
> Otra vez, con $u = \operatorname{sen} x$: $\int e^x\operatorname{sen} x\,dx = e^x\operatorname{sen} x - I$.
>
> $I = e^x\cos x + e^x\operatorname{sen} x - I \Rightarrow 2I = e^x(\cos x + \operatorname{sen} x)$.
>
> $I = \frac{e^x(\operatorname{sen} x + \cos x)}{2} + C$.

> [accordion] Ejemplo 6 · Integral definida
>
> $\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx$. Logarítmica antes que polinómica: $u = \ln x$, $dv = x\,dx$, $v = \frac{x^2}{2}$.
>
> $= \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x}{2}dx = \frac{e^2}{2} - \left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4} \approx 2{,}097$.

> [accordion] Ejemplo 7 · ∫ arctan x dx
>
> $u = \arctan x$, $dv = dx$: $du = \frac{dx}{1+x^2}$, $v = x$.
>
> $= x\arctan x - \int\frac{x}{1+x^2}dx = x\arctan x - \tfrac12\ln(1 + x^2) + C$.
>
> La última integral es inmediata (logaritmo), o un [cambio de variable](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/cambio-de-variable.md) con $t = 1 + x^2$.

## Errores frecuentes

* **Elegir al revés.** Con $u = e^x$ y $dv = x\,dx$ en $\int x e^x dx$, la nueva integral es $\int \frac{x^2}{2}e^x dx$: peor que la original.
* **Olvidar el signo menos** de $-\int v\,du$, sobre todo al aplicar partes dos veces.
* **Integrar mal $dv$.** $\int\operatorname{sen} x\,dx = -\cos x$, no $\cos x$.
* **Aplicar los límites solo a $uv$** en una integral definida. También la integral que queda lleva límites.
* **Seguir aplicando partes en una cíclica** sin darse cuenta de que ha vuelto a salir la original.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Cómo sé que una integral se hace por partes?
>
> Cuando hay un producto de funciones de tipos distintos (polinomio por exponencial, logaritmo por polinomio…) y no es la derivada de una función compuesta. Si dentro aparece una función y su derivada, como $x\,e^{x^2}$, es un cambio de variable, no partes.

> [accordion] ¿La regla ALPES falla alguna vez?
>
> Es una guía, no una ley. En $\int x^3 e^{x^2}dx$ conviene $u = x^2$ y $dv = x\,e^{x^2}dx$, porque esa $dv$ sí se integra. Si con la elección de ALPES la integral empeora, prueba al revés.

> [accordion] ¿Para qué se usa fuera del examen?
>
> Para calcular la [transformada de Laplace](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-laplace.md) de $t\,f(t)$, los coeficientes de las [series de Fourier](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/series-fourier.md), valores esperados en probabilidad y el método de los elementos finitos, que se basa en una "integración por partes" en varias variables.

## Temas relacionados

> [card] [Integrales paso a paso](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/integrales.md)
>
> Calcula integrales con cada regla explicada.

> [card] [Cambio de variable](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/cambio-de-variable.md)
>
> El otro gran método de integración.

> [card] [Tabla de integrales](https://apuntes.simulab.es/matematicas/formularios/tabla-integrales.md)
>
> Las integrales inmediatas.


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