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# Integrales paso a paso: inmediatas, cambio de variable y regla de Barrow

> Calcula integrales paso a paso: tabla de integrales inmediatas, linealidad, integrales de tipo potencia, cambio de variable sencillo e integral definida con la regla de Barrow y el área.

<Card title="Abrir la herramienta" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/integrales">
  Integrales inmediatas y definidas con cada regla explicada y el área dibujada.
</Card>

Integrar es **deshacer una derivada**: buscar una función $F$ cuya derivada sea la que te dan. No hay reglas tan automáticas como al derivar, pero la mayoría de las integrales de bachillerato son **inmediatas** (leer la tabla de derivadas al revés) o se convierten en inmediatas con un **cambio de variable**.

## Lo que vas a aprender

* Qué es una primitiva y por qué se suma $C$.
* La tabla de integrales inmediatas.
* Las integrales de tipo "función compuesta" y el cambio de variable.
* La integral definida, la regla de Barrow y el cálculo de áreas.

## Cómo se usa la herramienta

1. Elige **Indefinida** o **Definida** (en la definida, escribe los límites).
2. Escribe la función, por ejemplo `3x^2 + 2x − 5`.
3. Pulsa **Integrar**: verás la primitiva, el **paso a paso** con cada regla y la gráfica. En la definida, además, el valor con la regla de Barrow y el área sombreada.

La herramienta comprueba el resultado derivándolo, y te avisa si la integral no es inmediata.

## Fundamentos teóricos

### Primitiva

$F$ es una primitiva de $f$ si $F' = f$. Si $F$ lo es, también lo es $F + C$ para cualquier constante, porque la derivada de una constante es 0:

$$
\int f(x)\,dx = F(x) + C
$$

### Linealidad

$$
\int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx \qquad \int k\,f\,dx = k\int f\,dx
$$

### Tabla de integrales inmediatas

| $f(x)$ | $\int f(x)\,dx$ |
| - | - |
| $x^n$ ($n \ne -1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}$ |
| $\dfrac1x$ | $\ln\lvert x\rvert$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $\dfrac{a^x}{\ln a}$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ |
| $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan x$ |
| $\dfrac{1}{1 + x^2}$ | $\arctan x$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | $\arcsin x$ |

### Funciones compuestas

Si dentro hay algo lineal, $ax + b$, se integra igual y se **divide entre $a$**: $\int \cos(2x)\,dx = \dfrac{\sin 2x}{2}$.

Si un factor es **la derivada de lo de dentro** del otro, la integral es inmediata:

$$
\int f'(x)\,g\big(f(x)\big)\,dx = G\big(f(x)\big)
$$

Por ejemplo, $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1)$, porque $2x$ es la derivada de $x^2 + 1$.

### Cambio de variable

Formaliza lo anterior: se llama $u$ a lo de dentro, se sustituye $du = u'\,dx$, se integra en $u$ y se deshace el cambio.

### Integral definida y regla de Barrow

$$
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
$$

Requiere que $f$ sea **continua** en $[a, b]$. Da el área **con signo**: lo que está por debajo del eje X resta. Para el área geométrica, se parte el intervalo donde $f$ cambia de signo y se suman valores absolutos.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Polinomio" defaultOpen>
    $\displaystyle\int (3x^2 + 2x - 5)\,dx = x^3 + x^2 - 5x + C$.

    Entre 0 y 2: $(8 + 4 - 10) - 0 = 2$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Exponencial y coseno">
    $\displaystyle\int e^{3x}\,dx = \frac{e^{3x}}{3} + C$; $\displaystyle\int \cos(2x)\,dx = \frac{\sin 2x}{2} + C$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Cambio de variable">
    $\displaystyle\int 2x\,(x^2 + 1)^3\,dx$. Con $u = x^2 + 1$, $du = 2x\,dx$: $\displaystyle\int u^3\,du = \frac{u^4}{4} = \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · Tipo exponencial">
    $\displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx = \frac12\int 2x\,e^{x^2}\,dx = \frac{e^{x^2}}{2} + C$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 5 · Área">
    $\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx = [-\cos x]_0^\pi = 1 - (-1) = 2$.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Olvidar la constante $C$** en las indefinidas.
* **Integrar $1/x$ como potencia**: con $n = -1$ la fórmula falla; es $\ln|x|$.
* **Olvidar dividir entre el coeficiente** de dentro: $\int e^{3x}dx \ne e^{3x}$.
* **Aplicar Barrow con discontinuidades** en el intervalo.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Derivada e integral" icon="chart-area" href="/matematicas/calculo/calculo">
    Sumas de Riemann y área.
  </Card>

  <Card title="Derivadas paso a paso" icon="calculator" href="/matematicas/calculo/derivadas">
    La tabla que se lee al revés.
  </Card>

  <Card title="Ecuaciones diferenciales" icon="chart-line" href="/matematicas/modelos/ecuaciones-diferenciales">
    Integrar para resolver ecuaciones.
  </Card>
</CardGroup>


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