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# Límites paso a paso: indeterminaciones y regla de L'Hôpital

> Cómo calcular límites paso a paso: sustitución, indeterminaciones 0/0, ∞/∞, ∞−∞ y 1^∞, factorización, regla de L'Hôpital, límites laterales y en el infinito, con tabla de valores.

<Card title="Abrir la herramienta" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/limites">
  Escribe la función y el punto: verás la indeterminación y cómo se resuelve, con tabla de valores y gráfica.
</Card>

El **límite** responde a la pregunta: ¿a qué valor se acerca una función cuando $x$ se acerca a un punto? A veces basta con sustituir. Otras veces sale algo como $0/0$, que no dice nada, y hay que trabajar un poco más. Los límites son la base de la continuidad, las asíntotas y las derivadas.

## Lo que vas a aprender

* Qué es un límite y los límites laterales.
* Cuándo basta con sustituir.
* Las indeterminaciones y cómo resolver cada una.
* La regla de L'Hôpital.
* Límites en el infinito y asíntotas.

## Cómo se usa la herramienta

1. Escribe el punto (o pulsa **x → ∞** o **x → −∞**) y la función.
2. Pulsa **Calcular**.
3. Verás el resultado, el **paso a paso** (qué indeterminación sale y cómo se resuelve), una **gráfica** y una **tabla de valores** acercándose por la izquierda y por la derecha.

## Fundamentos teóricos

### Definición intuitiva

$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ significa que $f(x)$ se acerca tanto como queramos a $L$ cuando $x$ se acerca a $a$, **sin importar** lo que valga (o si existe) $f(a)$.

### Límites laterales

* Por la izquierda: $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)$.
* Por la derecha: $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)$.

El límite existe si los dos existen y **coinciden**.

### El método

1. **Sustituir.** Si sale un número, ese es el límite.
2. Si sale $\dfrac{k}{0}$ ($k \ne 0$): el límite es $\pm\infty$; mira los laterales para el signo. Hay una **asíntota vertical**.
3. Si sale una **indeterminación**, hay que transformar.

### Las indeterminaciones

$$
\frac00 \quad \frac{\infty}{\infty} \quad \infty - \infty \quad 0 \cdot \infty \quad 1^\infty \quad 0^0 \quad \infty^0
$$

| Indeterminación | Cómo se resuelve |
| - | - |
| $0/0$ con polinomios | Factorizar y simplificar |
| $0/0$ con raíces | Multiplicar por el conjugado |
| $\infty/\infty$ con polinomios | Comparar grados |
| $\infty - \infty$ | Operar (común denominador, conjugado) |
| $1^\infty$ | $\lim f^g = e^{\lim g\,(f - 1)}$ |
| $0/0$, $\infty/\infty$ en general | L'Hôpital |

### Regla de L'Hôpital

Si sale $0/0$ o $\infty/\infty$:

$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$

Se deriva numerador y denominador **por separado** (no es la regla del cociente). Se puede repetir.

### Límites en el infinito de cocientes de polinomios

* Grado del numerador **mayor**: $\pm\infty$.
* **Menor**: 0.
* **Igual**: cociente de los coeficientes principales → **asíntota horizontal**.

### Límites notables

$$
\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac1x\right)^x = e
$$

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · 0/0 con polinomios" defaultOpen>
    $\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 4}{x - 2}$: sale $0/0$. Factorizando: $\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \to 4$.

    Con L'Hôpital: $\lim 2x/1 = 4$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · ∞/∞">
    $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{3x^2 + 1}{2x^2 - x} = \frac32$ (mismo grado). Asíntota horizontal $y = 1{,}5$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Límites laterales distintos">
    $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac1x$: por la derecha $+\infty$, por la izquierda $-\infty$. **No existe**; hay asíntota vertical en $x = 0$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · L'Hôpital">
    $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x}{e^x}$: $\infty/\infty$. L'Hôpital: $\lim \dfrac{1}{e^x} = 0$. La exponencial crece más rápido que cualquier polinomio.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 5 · 1^∞">
    $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac1x\right)^x = e^{\lim x \cdot \frac1x} = e^1 = e$.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Decir que $0/0 = 0$, $= 1$ o "no existe".** Es una indeterminación: hay que calcular.
* **Aplicar L'Hôpital sin indeterminación.**
* **Usar la regla del cociente** en L'Hôpital.
* **Olvidar los laterales** cuando sale $k/0$.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Derivada e integral" icon="chart-area" href="/matematicas/calculo/calculo">
    La derivada como límite.
  </Card>

  <Card title="Factorizar polinomios" icon="calculator" href="/matematicas/algebra/polinomios">
    Para simplificar 0/0.
  </Card>

  <Card title="Derivadas paso a paso" icon="calculator" href="/matematicas/calculo/derivadas">
    Para aplicar L'Hôpital.
  </Card>
</CardGroup>


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