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# Problemas de optimización: máximos y mínimos con derivadas

> Cómo resolver problemas de optimización con derivadas: plantear la función objetivo, usar la restricción para dejar una sola variable, encontrar el dominio, derivar e igualar a cero, comprobar que es máximo o mínimo y estudiar los extremos del intervalo, con problemas resueltos de áreas, volúmenes, costes y distancias.

¿Qué medidas debe tener una caja para gastar el mínimo de cartón? ¿A qué precio hay que vender un producto para ganar lo máximo? ¿Dónde está el punto de una curva más cercano a otro? Son **problemas de optimización**: buscar el máximo o el mínimo de una magnitud que depende de otra. Las derivadas los resuelven con un método que siempre es el mismo.

## Lo que vas a aprender

* Los pasos para plantear y resolver un problema de optimización.
* Cómo usar la restricción para dejar una sola variable.
* Cómo comprobar que la solución es un máximo o un mínimo.
* Por qué hay que mirar los extremos del intervalo.

## Fundamentos teóricos

### El método

1. **Dibuja** la situación y pon nombre a las variables.
2. Escribe la **función objetivo**: lo que hay que maximizar o minimizar (área, coste, volumen, distancia…).
3. Si depende de varias variables, usa la **restricción** (el dato fijo del problema) para dejarla en una sola.
4. Escribe el **dominio**: los valores con sentido físico (longitudes positivas, cantidades dentro de un rango).
5. **Deriva** e iguala a cero para hallar los puntos críticos.
6. **Comprueba** que es máximo o mínimo: con el signo de $f''$ o con el cambio de signo de $f'$.
7. Si el dominio es un intervalo cerrado, compara con el valor en los **extremos** del intervalo.
8. **Responde** a la pregunta, con unidades.

### Extremos absolutos

En un intervalo cerrado $[a, b]$, una función continua alcanza su máximo y su mínimo (teorema de Weierstrass), y están:

* en un punto crítico interior, o
* en uno de los extremos $a$ o $b$.

Basta con evaluar $f$ en todos esos puntos y comparar.

### Truco de la distancia

Para minimizar una distancia $d = \sqrt{\cdots}$, basta con minimizar $d^2$, que tiene el mínimo en el mismo punto y no tiene raíz.

Para problemas con varias variables y restricciones, ver [extremos y multiplicadores de Lagrange](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/extremos-lagrange.md).

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Corral de área máxima junto a un muro
>
> Con 100 m de valla se quiere cercar un corral rectangular aprovechando un muro como uno de los lados.
>
> Lados $x$ (perpendiculares al muro, dos) e $y$ (paralelo). Restricción: $2x + y = 100$. Área: $A = xy = x(100 - 2x)$, con $0 < x < 50$.
>
> $A'(x) = 100 - 4x = 0 \Rightarrow x = 25$. $A''(x) = -4 < 0$: **máximo**. $y = 50$ m, área 1250 m².

> [accordion] Ejemplo 2 · Caja sin tapa de volumen máximo
>
> De una chapa cuadrada de 30 cm se cortan cuadrados de lado $x$ en las esquinas y se doblan los bordes.
>
> $V = x(30 - 2x)^2$, con $0 < x < 15$. $V'(x) = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) = (30 - 2x)(30 - 6x) = 0 \Rightarrow x = 5$ (la otra, $x = 15$, da volumen 0).
>
> $V(5) = 5\cdot20^2 = 2000$ cm³ = 2 L.

> [accordion] Ejemplo 3 · Lata de mínima superficie
>
> Lata cilíndrica de 1 L (1000 cm³). Superficie: $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$, con $\pi r^2h = 1000$.
>
> $h = \frac{1000}{\pi r^2}$: $S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}$. $S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} = 5{,}42$ cm.
>
> $h = 10{,}84$ cm $= 2r$: la altura igual al diámetro. Las latas reales son más altas por otras razones (agarre, costes de las tapas, apilado).

> [accordion] Ejemplo 4 · Beneficio máximo
>
> Se venden $x$ unidades a un precio $p = 100 - 0{,}5x$ euros, con un coste $C = 20x + 500$.
>
> Beneficio: $B = px - C = 100x - 0{,}5x^2 - 20x - 500 = -0{,}5x^2 + 80x - 500$.
>
> $B'(x) = -x + 80 = 0 \Rightarrow x = 80$ unidades, a 60 € cada una, con beneficio $B(80) = 2700$ €.

> [accordion] Ejemplo 5 · Punto más cercano
>
> Punto de la parábola $y = x^2$ más cercano a $(0, 2)$. Se minimiza $d^2 = x^2 + (x^2 - 2)^2 = x^4 - 3x^2 + 4$.
>
> $(d^2)' = 4x^3 - 6x = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = \pm\sqrt{1{,}5}$. En $x = 0$, $d^2 = 4$; en $x = \pm1{,}225$, $d^2 = 1{,}75$.
>
> Los puntos más cercanos son $(\pm1{,}225;\ 1{,}5)$, a distancia $\sqrt{1{,}75} = 1{,}32$.

> [accordion] Ejemplo 6 · Extremo en el borde del intervalo
>
> Un hotel de 50 habitaciones las alquila todas a 80 €; por cada 2 € de subida se queda una vacía. Con $x$ subidas de 2 €: ingresos $I = (80 + 2x)(50 - x)$, con $0 \le x \le 50$.
>
> $I'(x) = 2(50 - x) - (80 + 2x) = 20 - 4x = 0 \Rightarrow x = 5$: precio de 90 € e ingresos de 4050 €.
>
> En los extremos: $I(0) = 4000$ € e $I(50) = 0$. El máximo es el interior.

## Errores frecuentes

* **No usar la restricción** y quedarse con dos variables.
* **No comprobar si es máximo o mínimo.** Un punto crítico puede ser lo contrario de lo que se busca.
* **Olvidar el dominio** y dar soluciones sin sentido (longitudes negativas, más unidades de las que hay).
* **No mirar los extremos del intervalo**, donde a veces está la solución.
* **Responder solo con $x$** cuando se pregunta por las medidas, el área o el beneficio.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Por qué la derivada es cero en un máximo?
>
> Porque justo en lo alto la función deja de subir y empieza a bajar: la recta tangente es horizontal, de pendiente cero. Si la derivada fuera positiva, la función seguiría subiendo un poco más allá; si fuera negativa, ya habría empezado a bajar antes.

> [accordion] ¿Dónde se usa la optimización de verdad?
>
> En todas partes: diseño de piezas con mínimo material, logística y rutas, carteras de inversión, entrenamiento de redes neuronales (que minimizan una función de error con millones de variables), control de procesos y estructuras más ligeras y resistentes.

## Temas relacionados

> [card] [Representación de funciones](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/representacion-funciones.md)
>
> Monotonía, extremos y curvatura.

> [card] [Derivadas paso a paso](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/derivadas.md)
>
> Deriva la función objetivo.

> [card] [Extremos y Lagrange](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/extremos-lagrange.md)
>
> Optimización con varias variables.


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