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# Regla de L'Hôpital: cómo resolver límites indeterminados con derivadas

> La regla de L'Hôpital explicada: enunciado, condiciones para aplicarla, indeterminaciones 0/0 e ∞/∞, cómo transformar las indeterminaciones 0·∞, ∞ − ∞, 1^∞, 0⁰ e ∞⁰, aplicarla varias veces, cuándo falla y comparación con Taylor, con ejemplos resueltos.

Muchos límites dan, al sustituir, expresiones como $\frac00$ o $\frac\infty\infty$ que no dicen nada por sí mismas. La **regla de L'Hôpital** las resuelve derivando el numerador y el denominador por separado: el límite del cociente de las funciones es el límite del cociente de sus derivadas. Es la herramienta más rápida para muchos límites con funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

## Lo que vas a aprender

* El enunciado de la regla y sus condiciones.
* Cómo aplicarla a $\frac00$ y a $\frac\infty\infty$.
* Cómo convertir las demás indeterminaciones en una de estas dos.
* Cuándo aplicarla varias veces y cuándo no funciona.

## Fundamentos teóricos

### Enunciado

Si $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ es una indeterminación $\frac00$ o $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$, $f$ y $g$ son derivables cerca de $a$ y existe $\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$, entonces

$$
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
$$

Vale también con $a = \pm\infty$ y con límites laterales. Se deriva el numerador y el denominador **por separado**, no se aplica la regla del cociente.

### Las otras indeterminaciones

| Indeterminación | Cómo se transforma |
| - | - |
| $0\cdot\infty$ | $f\cdot g = \frac{f}{1/g}$ (pasa a $\frac00$ o $\frac\infty\infty$) |
| $\infty - \infty$ | Común denominador o sacar factor común |
| $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ | Tomar logaritmos: $\lim f^g = e^{\lim g\ln f}$ |

Para $1^\infty$ hay un atajo: si $f \to 1$ y $g \to \infty$,

$$
\lim f^g = e^{\lim g\,(f - 1)}
$$

### Velocidades de crecimiento

Aplicando L'Hôpital se comprueba la jerarquía de infinitos cuando $x \to \infty$:

$$
\ln x \ll x^p \ll a^x \ll x^x \qquad (p > 0,\ a > 1)
$$

Por ejemplo, $\lim\frac{\ln x}{x^p} = 0$ y $\lim\frac{x^n}{e^x} = 0$ para cualquier $n$.

### Cuándo no funciona

* Si **no hay indeterminación**: $\lim_{x\to0}\frac{x + 1}{x + 2} = \frac12$, pero derivando saldría 1.
* Si el límite de las derivadas **no existe**: $\lim_{x\to\infty}\frac{x + \operatorname{sen} x}{x} = 1$, pero $\frac{1 + \cos x}{1}$ oscila.
* Si derivar **no simplifica** y entra en un ciclo: $\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$ vuelve a sí misma. Mejor dividir por $e^x$.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Indeterminación 0/0
>
> $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} 3x}{x} \overset{0/0}{=} \lim_{x\to0}\frac{3\cos 3x}{1} = 3$.

> [accordion] Ejemplo 2 · Aplicarla dos veces
>
> $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2} \overset{0/0}{=} \lim\frac{e^x - 1}{2x} \overset{0/0}{=} \lim\frac{e^x}{2} = \frac12$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Indeterminación ∞/∞
>
> $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x} \overset{\infty/\infty}{=} \lim\frac{2x}{e^x} = \lim\frac{2}{e^x} = 0$. La exponencial gana.

> [accordion] Ejemplo 4 · Indeterminación 0·∞
>
> $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x = \lim\frac{\ln x}{1/x} \overset{\infty/\infty}{=} \lim\frac{1/x}{-1/x^2} = \lim(-x) = 0$.

> [accordion] Ejemplo 5 · Indeterminación ∞ − ∞
>
> $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac1x - \frac{1}{\operatorname{sen} x}\right) = \lim\frac{\operatorname{sen} x - x}{x\operatorname{sen} x} \overset{0/0}{=} \lim\frac{\cos x - 1}{\operatorname{sen} x + x\cos x} \overset{0/0}{=} \lim\frac{-\operatorname{sen} x}{2\cos x - x\operatorname{sen} x} = 0$.

> [accordion] Ejemplo 6 · Indeterminación 1^∞
>
> $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac3x\right)^{2x} = e^{\lim 2x\cdot\frac3x} = e^6$.

> [accordion] Ejemplo 7 · Indeterminación 0⁰
>
> $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^x = e^{\lim x\ln x} = e^0 = 1$, usando el ejemplo 4.

## Errores frecuentes

* **Aplicarla sin indeterminación.** Comprueba siempre antes que sale $\frac00$ o $\frac\infty\infty$.
* **Derivar el cociente con la regla del cociente.** Se derivan numerador y denominador por separado.
* **Aplicarla a $0\cdot\infty$ o $1^\infty$ directamente.** Hay que transformarlas antes.
* **Olvidar el exponente** al volver de los logaritmos: el resultado es $e^{\text{límite}}$, no el límite.
* **Usarla en sucesiones directamente.** Se aplica a la función de variable real asociada.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿L'Hôpital o Taylor?
>
> L'Hôpital es más rápido cuando basta con derivar una o dos veces. Con varias funciones que hay que derivar muchas veces, como $\frac{\tan x - \operatorname{sen} x}{x^3}$, [Taylor](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/aplicaciones-taylor.md) suele ser más corto y deja ver qué términos importan.

> [accordion] ¿La regla es de L'Hôpital?
>
> Se publicó en 1696 en el primer libro de texto de cálculo, escrito por el marqués de L'Hôpital, pero el resultado era de Johann Bernoulli, que le daba clases a cambio de un sueldo y de los derechos sobre sus descubrimientos.

## Temas relacionados

> [card] [Límites paso a paso](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/limites.md)
>
> Calcula límites con cada paso explicado.

> [card] [Aplicaciones de Taylor](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/aplicaciones-taylor.md)
>
> Límites con infinitésimos.

> [card] [Tabla de derivadas](https://apuntes.simulab.es/matematicas/formularios/tabla-derivadas.md)
>
> Las derivadas que necesitas.


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