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# Estudio y representación de funciones: dominio, asíntotas, monotonía y curvatura

> Cómo estudiar y representar una función paso a paso: dominio, cortes con los ejes, simetrías, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión, con ejemplos resueltos de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

Representar una función es dibujar su gráfica a partir de su fórmula, sabiendo dónde existe, por dónde corta los ejes, hacia dónde se va en el infinito, dónde sube y baja y cómo se curva. Es el ejercicio que reúne todo lo aprendido de [límites](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/limites.md) y [derivadas](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/derivadas.md), y uno de los fijos en los exámenes de bachillerato y de acceso a la universidad.

## Lo que vas a aprender

* Los pasos de un estudio completo de una función.
* Cómo calcular el dominio y los cortes con los ejes.
* Cómo hallar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.
* Cómo estudiar la monotonía y los extremos con la primera derivada.
* Cómo estudiar la curvatura y los puntos de inflexión con la segunda.

## Fundamentos teóricos

### Los pasos

1. **Dominio:** dónde está definida.
2. **Cortes con los ejes:** con el eje $y$, $f(0)$; con el eje $x$, las soluciones de $f(x) = 0$.
3. **Simetrías:** par ($f(-x) = f(x)$) o impar ($f(-x) = -f(x)$).
4. **Asíntotas.**
5. **Monotonía y extremos** con $f'$.
6. **Curvatura y puntos de inflexión** con $f''$.
7. **Tabla de valores** y dibujo.

### Dominio

| Función | Restricción |
| - | - |
| Polinómica | Ninguna: $\mathbb{R}$ |
| Racional $\frac{P}{Q}$ | $Q(x) \ne 0$ |
| Raíz de índice par $\sqrt{g}$ | $g(x) \ge 0$ |
| Logaritmo $\ln g$ | $g(x) > 0$ |
| Exponencial $e^{g}$ | La de $g$ |

### Asíntotas

| Tipo | Cuándo hay | Cómo se calcula |
| - | - | - |
| **Vertical** $x = a$ | $\lim_{x\to a}f(x) = \pm\infty$ | En los puntos que anulan el denominador (o el argumento de un logaritmo) |
| **Horizontal** $y = L$ | $\lim_{x\to\pm\infty}f(x) = L$ finito | Límite en el infinito |
| **Oblicua** $y = mx + n$ | Si no hay horizontal | $m = \lim\frac{f(x)}{x}$, $n = \lim(f(x) - mx)$ |

En una racional $\frac{P}{Q}$: horizontal si grado $P \le$ grado $Q$; oblicua si grado $P$ = grado $Q$ + 1 (y se obtiene dividiendo).

### Monotonía y extremos

* $f'(x) > 0$: creciente. $f'(x) < 0$: decreciente.
* Los **extremos relativos** están donde $f'$ cambia de signo (puntos con $f' = 0$ o donde $f'$ no existe).
* Si $f'(a) = 0$ y $f''(a) > 0$: mínimo. Si $f''(a) < 0$: máximo.

### Curvatura e inflexión

* $f''(x) > 0$: **convexa** (forma de $\cup$, "sonrisa").
* $f''(x) < 0$: **cóncava** (forma de $\cap$).
* **Punto de inflexión:** donde $f''$ cambia de signo.

Algunos libros usan los nombres al revés (cóncava hacia arriba = convexa). Lo seguro es dar el signo de $f''$ o dibujar $\cup$ y $\cap$.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Polinómica: f(x) = x³ − 3x
>
> **Dominio:** $\mathbb{R}$. **Cortes:** $x(x^2 - 3) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm\sqrt3$. **Simetría:** impar.
>
> **Asíntotas:** ninguna (es polinómica).
>
> $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm1$. Crece en $(-\infty, -1)$ y $(1, \infty)$; decrece en $(-1, 1)$. **Máximo** en $(-1, 2)$ y **mínimo** en $(1, -2)$.
>
> $f''(x) = 6x$: cóncava ($\cap$) para $x < 0$, convexa ($\cup$) para $x > 0$. **Inflexión** en $(0, 0)$.

> [accordion] Ejemplo 2 · Racional: f(x) = (x² + 1)/x
>
> **Dominio:** $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. No corta el eje $x$ ($x^2 + 1 > 0$). **Impar.**
>
> **Vertical:** $x = 0$. **Oblicua:** $\frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac1x$, así que $y = x$.
>
> $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow x = \pm1$. Máximo en $(-1, -2)$, mínimo en $(1, 2)$.
>
> $f''(x) = \frac{2}{x^3}$: cóncava para $x < 0$, convexa para $x > 0$. Sin inflexión (en $x = 0$ no existe la función).

> [accordion] Ejemplo 3 · Racional con asíntota horizontal: f(x) = 2x/(x² − 1)
>
> **Dominio:** $x \ne \pm1$. Corte en $(0, 0)$. Impar.
>
> **Verticales:** $x = 1$ y $x = -1$. **Horizontal:** $y = 0$ (grado del numerador menor).
>
> $f'(x) = \frac{2(x^2 - 1) - 2x\cdot2x}{(x^2-1)^2} = \frac{-2(x^2 + 1)}{(x^2 - 1)^2} < 0$: **siempre decreciente**, sin extremos.

> [accordion] Ejemplo 4 · Exponencial: f(x) = x eˣ
>
> **Dominio:** $\mathbb{R}$. Corte en $(0, 0)$.
>
> $\lim_{x\to-\infty}x\,e^x = 0$: asíntota horizontal $y = 0$ por la izquierda. Por la derecha tiende a $+\infty$.
>
> $f'(x) = (1 + x)e^x = 0 \Rightarrow x = -1$: **mínimo** en $(-1, -\frac1e) \approx (-1; -0{,}37)$.
>
> $f''(x) = (2 + x)e^x$: **inflexión** en $x = -2$.

> [accordion] Ejemplo 5 · Logarítmica: f(x) = ln(x)/x
>
> **Dominio:** $(0, \infty)$. Corte en $(1, 0)$.
>
> $\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{x} = -\infty$: vertical $x = 0$. $\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = 0$: horizontal $y = 0$.
>
> $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \Rightarrow x = e$: **máximo** en $(e, \frac1e)$.

## Errores frecuentes

* **Buscar asíntotas verticales en todos los ceros del denominador sin comprobar el límite.** En $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$, $x = 1$ es un agujero, no una asíntota.
* **Decir que hay un extremo solo porque $f' = 0$.** $x^3$ tiene $f'(0) = 0$ y no tiene extremo: hay que ver el cambio de signo.
* **Olvidar los puntos fuera del dominio** al hacer la tabla de signos de $f'$ y $f''$.
* **Dar los extremos solo con la $x$.** Un punto tiene dos coordenadas: calcula $f(a)$.
* **Buscar oblicua cuando ya hay horizontal** en ese lado.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Puede una función cortar su asíntota horizontal?
>
> Sí. La asíntota describe el comportamiento en el infinito, no en el centro. $\frac{\operatorname{sen} x}{x}$ tiene asíntota $y = 0$ y la corta infinitas veces. Lo que no puede cortar es una asíntota vertical.

> [accordion] ¿Cómo compruebo que la gráfica está bien?
>
> Con el simulador de [transformaciones de funciones](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/funciones.md) o el de [derivada e integral](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/calculo.md), que dibujan la función y su derivada. Comprueba que los extremos y las asíntotas coinciden con lo calculado.

## Temas relacionados

> [card] [Derivadas paso a paso](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/derivadas.md)
>
> Calcula f′ y f″.

> [card] [Límites paso a paso](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/limites.md)
>
> Asíntotas y comportamiento en el infinito.

> [card] [Optimización](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/optimizacion.md)
>
> Extremos aplicados a problemas.


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