> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Series de potencias: radio de convergencia y desarrollos en serie > Series de potencias explicadas: radio e intervalo de convergencia con el criterio del cociente y de la raíz, derivar e integrar término a término y obtener desarrollos nuevos a partir de la serie geométrica, con ejemplos resueltos. Un polinomio de Taylor aproxima una función con un número **finito** de términos. Si se dejan crecer los términos sin límite se obtiene una **serie de potencias**: un "polinomio infinito" que, dentro de cierto intervalo, no aproxima la función sino que **es** la función. Con ellas se calculan funciones en las calculadoras, se resuelven ecuaciones diferenciales y se definen funciones nuevas. ## Lo que vas a aprender * Qué es una serie de potencias y dónde converge. * Cómo calcular el radio de convergencia con el criterio del cociente o de la raíz. * Por qué hay que estudiar aparte los extremos del intervalo. * Cómo derivar, integrar y sustituir dentro de una serie para obtener desarrollos nuevos sin calcular derivadas. ## Fundamentos teóricos ### Definición Una serie de potencias centrada en $a$ es $$ \sum_{n=0}^{\infty} c_n\,(x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots $$ Para cada valor de $x$ es una serie numérica, que puede converger o no. El conjunto de valores donde converge es siempre un **intervalo centrado en $a$**. ### Radio de convergencia Existe un número $R \ge 0$ (que puede ser $\infty$), el **radio de convergencia**, tal que: * Si $|x-a| < R$, la serie converge (y lo hace absolutamente). * Si $|x-a| > R$, la serie diverge. * Si $|x-a| = R$, puede pasar cualquier cosa: hay que estudiar cada extremo a mano. Se calcula con el **criterio del cociente**: $$ R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| $$ o con el **criterio de la raíz** (Cauchy-Hadamard), que siempre funciona: $$ \frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|} $$ ### La serie geométrica, la madre de todas $$ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \qquad |x| < 1 $$ Casi todos los desarrollos útiles salen de esta mediante tres operaciones. ### Operaciones dentro del radio de convergencia | Operación | Qué se hace | Radio | | - | - | - | | **Sustituir** | Cambiar $x$ por $-x$, $x^2$, $2x$… | Se recalcula con la nueva variable | | **Derivar** término a término | $\sum n\,c_n\,x^{n-1}$ | El mismo $R$ | | **Integrar** término a término | $\sum \frac{c_n}{n+1}\,x^{n+1}$ | El mismo $R$ | Derivar e integrar **no cambian el radio**, pero sí pueden cambiar lo que pasa en los extremos. ### Serie de Taylor Si una función se puede escribir como serie de potencias en torno a $a$, los coeficientes son obligatoriamente $$ c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} $$ Es decir, la serie de potencias de una función es **única** y coincide con su serie de Taylor. Por eso da igual cómo se obtenga: derivando, sustituyendo o integrando, el resultado es el mismo. ### Desarrollos que hay que saber | Función | Serie | Converge en | | - | - | - | | $e^x$ | $\sum \frac{x^n}{n!}$ | $\mathbb{R}$ | | $\operatorname{sen} x$ | $\sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $\mathbb{R}$ | | $\cos x$ | $\sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ | $\mathbb{R}$ | | $\frac{1}{1-x}$ | $\sum x^n$ | $(-1, 1)$ | | $\ln(1+x)$ | $\sum_{n\ge1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$ | $(-1, 1]$ | | $\arctan x$ | $\sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ | $[-1, 1]$ | | $(1+x)^\alpha$ | $\sum \binom{\alpha}{n} x^n$ | $(-1, 1)$ si $\alpha \notin \mathbb{N}$ | ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Radio e intervalo de convergencia > > Estudia dónde converge $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n\,3^n}$. > > Con $c_n = \frac{1}{n\,3^n}$: > > $R = \lim \frac{(n+1)\,3^{n+1}}{n\,3^n} = 3$. Converge seguro si $|x-2| < 3$, es decir, en $(-1, 5)$. > > **Extremos.** En $x = 5$ queda $\sum \frac{1}{n}$, la serie armónica: **diverge**. En $x = -1$ queda $\sum \frac{(-1)^n}{n}$, alternada con términos que decrecen a 0: **converge** (Leibniz). > > Intervalo de convergencia: $[-1, 5)$. > [accordion] Ejemplo 2 · Desarrollo de ln(1+x) integrando > > Partimos de la geométrica con $-x$: $\frac{1}{1+x} = \sum (-1)^n x^n$, para $|x| < 1$. > > Integrando de 0 a $x$ término a término: > > $\ln(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ > > No ha hecho falta calcular ninguna derivada de $\ln(1+x)$. > [accordion] Ejemplo 3 · Desarrollo de 1/(1+x²) y de arctan x > > Sustituyendo $x$ por $-x^2$ en la geométrica: $\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots$, para $|x| < 1$. > > Integrando: $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$ > > Con $x = 1$ (el extremo converge por Leibniz) sale la serie de Leibniz: $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots$ > [accordion] Ejemplo 4 · Sumar una serie derivando > > Calcula $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$. > > Derivando la geométrica: $\sum_{n\ge1} n\,x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$. Multiplicando por $x$: $\sum n\,x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$. > > Con $x = \frac12$: $\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2$. > [accordion] Ejemplo 5 · Radio infinito > > Radio de $\sum \frac{x^n}{n!}$: $R = \lim \frac{(n+1)!}{n!} = \lim (n+1) = \infty$. La serie de $e^x$ converge para todo $x$. ## Errores frecuentes * **Olvidar los extremos.** El criterio del cociente no dice nada en $|x-a| = R$; cada extremo se estudia aparte. * **Invertir el cociente.** $R = \lim |c_n / c_{n+1}|$, no al revés. Si se aplica el criterio a los términos completos $c_n (x-a)^n$, la condición es que el límite sea menor que 1. * **Usar un desarrollo fuera de su radio.** $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ es falso para $x = 2$, aunque la función sí exista ahí. * **Pensar que derivar cambia el radio.** El radio se conserva; solo pueden cambiar los extremos. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Toda función con infinitas derivadas es igual a su serie de Taylor? > > No. El ejemplo clásico es $f(x) = e^{-1/x^2}$ (con $f(0) = 0$): todas sus derivadas en 0 valen 0, así que su serie de Taylor es la función nula, pero $f$ no lo es. Las funciones que sí coinciden con su serie se llaman **analíticas**. > [accordion] ¿Por qué 1/(1+x²) tiene radio 1 si la función existe en todo ℝ? > > Porque en el plano complejo tiene polos en $x = \pm i$, a distancia 1 del origen. El radio de convergencia es la distancia a la singularidad compleja más cercana. > [accordion] ¿Para qué sirven en ingeniería? > > Para evaluar funciones (las calculadoras usan variantes de estas series), resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes variables (método de Frobenius), aproximar integrales que no tienen primitiva elemental, como $\int e^{-x^2}dx$, y definir funciones especiales como las de Bessel. ## Temas relacionados > [card] [Polinomio de Taylor](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/taylor.md) > > La aproximación con un número finito de términos. > [card] [Aplicaciones de Taylor](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/aplicaciones-taylor.md) > > Límites, errores y aproximaciones. > [card] [Series de Fourier](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/series-fourier.md) > > Desarrollar en senos y cosenos en lugar de potencias. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.