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# Sucesiones y series numéricas: límites y criterios de convergencia

> Sucesiones y series numéricas explicadas: límite de una sucesión, sucesiones monótonas y acotadas, el número e, series geométrica, armónica y p-series, condición necesaria, criterios de comparación, cociente, raíz, integral y Leibniz, y convergencia absoluta y condicional, con ejemplos resueltos.

Una **sucesión** es una lista infinita de números: $1, \frac12, \frac13, \frac14, \dots$ Una **serie** es lo que se obtiene al **sumarlos todos**. ¿Puede una suma de infinitos números dar un resultado finito? A veces sí: $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots = 1$. Otras veces no: $1 + \frac12 + \frac13 + \cdots$ crece sin límite. Los **criterios de convergencia** permiten saber qué pasa sin tener que sumar. Son la base de las [series de potencias](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/series-potencias.md), de Taylor y de Fourier.

## Lo que vas a aprender

* Qué es el límite de una sucesión y cómo se calcula.
* Por qué toda sucesión monótona y acotada converge.
* Qué es una serie y cuándo converge.
* Las series que sirven de referencia: geométrica, armónica y $p$-series.
* Los criterios de convergencia y cuándo usar cada uno.
* La diferencia entre convergencia absoluta y condicional.

## Fundamentos teóricos

### Sucesiones y su límite

Una sucesión $(a_n)$ **converge** a $L$ si sus términos se acercan a $L$ tanto como se quiera a partir de cierto $n$:

$$
\lim_{n\to\infty} a_n = L
$$

Se calculan como los límites de funciones en el infinito: comparando grados, dividiendo por la mayor potencia o con infinitos equivalentes.

**Jerarquía de infinitos** (de menor a mayor): $\ln n \ll n^p \ll a^n \ll n! \ll n^n$, con $p > 0$ y $a > 1$.

**Teorema de la convergencia monótona:** una sucesión creciente y acotada superiormente converge (igual decreciente y acotada inferiormente).

**El número e:**

$$
\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac1n\right)^n = e \approx 2{,}71828 \qquad \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a
$$

### Series

La serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es el límite de las **sumas parciales** $S_N = a_1 + \cdots + a_N$. Si ese límite existe y es finito, la serie **converge**; si no, **diverge**.

### Series de referencia

| Serie | Converge si | Suma |
| - | - | - |
| Geométrica $\sum_{n=0}^\infty r^n$ | $\lvert r\rvert < 1$ | $\frac{1}{1 - r}$ |
| Armónica $\sum \frac1n$ | Nunca | Diverge |
| $p$-serie $\sum \frac{1}{n^p}$ | $p > 1$ | $\zeta(p)$; por ejemplo $\sum\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ |
| Telescópica $\sum (b_n - b_{n+1})$ | Si $b_n \to L$ | $b_1 - L$ |

### Condición necesaria

$$
\sum a_n \text{ converge} \;\Rightarrow\; a_n \to 0
$$

Por tanto, si $a_n \not\to 0$, la serie **diverge**. Pero que $a_n \to 0$ **no basta**: la armónica es el ejemplo.

### Criterios para series de términos positivos

| Criterio | Cómo se aplica | Va bien con |
| - | - | - |
| **Comparación** | Si $0 \le a_n \le b_n$ y $\sum b_n$ converge, $\sum a_n$ converge | Desigualdades sencillas |
| **Comparación en el límite** | Si $\frac{a_n}{b_n} \to L$ finito y no nulo, las dos hacen lo mismo | Cocientes de polinomios y raíces |
| **Cociente** (D'Alembert) | $L = \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}$: converge si $L < 1$, diverge si $L > 1$ | Factoriales y exponenciales |
| **Raíz** (Cauchy) | $L = \lim\sqrt[n]{a_n}$: converge si $L < 1$, diverge si $L > 1$ | Potencias $n$-ésimas |
| **Integral** | $\sum f(n)$ y $\int_1^\infty f(x)\,dx$ hacen lo mismo ($f$ positiva y decreciente) | Logaritmos, $p$-series |

Si en el cociente o la raíz sale $L = 1$, **el criterio no decide**: hay que usar otro.

### Series alternadas: criterio de Leibniz

$\sum (-1)^n b_n$ con $b_n > 0$ converge si $b_n$ es **decreciente** y $b_n \to 0$. Además, el error al cortar la suma es menor que el primer término despreciado.

### Convergencia absoluta y condicional

* **Absoluta:** converge $\sum |a_n|$. Entonces $\sum a_n$ también converge, y se puede reordenar sin cambiar la suma.
* **Condicional:** converge $\sum a_n$ pero no $\sum |a_n|$. Ejemplo: $\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2$. Reordenando sus términos se puede obtener **cualquier** suma (teorema de Riemann).

### Estrategia

1. ¿$a_n \to 0$? Si no, diverge.
2. ¿Es una serie conocida (geométrica, $p$-serie, telescópica)?
3. ¿Hay factoriales o $a^n$? Cociente. ¿Potencias $n$-ésimas? Raíz.
4. ¿Es un cociente de polinomios o raíces? Comparación en el límite con $\frac{1}{n^p}$.
5. ¿Es alternada? Leibniz, y luego mira si converge absolutamente.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Límite de una sucesión
>
> $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2 - n}{5n^2 + 2} = \frac35$, comparando los coeficientes de mayor grado.
>
> $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{2}{n}\right)^{3n} = \left(e^2\right)^3 = e^6$.

> [accordion] Ejemplo 2 · Serie geométrica
>
> $\sum_{n=1}^\infty \frac{3}{4^n} = 3\cdot\frac{1/4}{1 - 1/4} = 1$.
>
> Y $0{,}999\ldots = \sum_{n=1}^\infty \frac{9}{10^n} = 9\cdot\frac{1/10}{9/10} = 1$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Telescópica
>
> $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)} = \sum\left(\frac1n - \frac{1}{n+1}\right)$. La suma parcial es $1 - \frac{1}{N+1}$, que tiende a **1**.

> [accordion] Ejemplo 4 · Criterio del cociente
>
> $\sum\frac{2^n}{n!}$: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2}{n+1} \to 0 < 1$. **Converge** (sumando desde $n = 1$, da $e^2 - 1$).
>
> $\sum\frac{n!}{3^n}$: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{3} \to \infty$. **Diverge**.

> [accordion] Ejemplo 5 · Comparación en el límite
>
> $\sum\frac{n + 1}{n^3 + 2}$. Se comporta como $\frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$: $\lim\frac{(n+1)/(n^3+2)}{1/n^2} = 1$.
>
> Como $\sum\frac{1}{n^2}$ converge ($p = 2 > 1$), la serie **converge**.
>
> En cambio $\sum\frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$ se comporta como $\frac1n$: **diverge**.

> [accordion] Ejemplo 6 · Criterio de la raíz
>
> $\sum\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$: $\sqrt[n]{a_n} = \frac{n}{2n+1} \to \frac12 < 1$. **Converge**.

> [accordion] Ejemplo 7 · Criterio integral
>
> $\sum_{n\ge2}\frac{1}{n\ln n}$: $\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln x} = \Big[\ln(\ln x)\Big]_2^\infty = \infty$. **Diverge**, aunque muy despacio.

> [accordion] Ejemplo 8 · Alternada: absoluta o condicional
>
> $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$: $\frac{1}{\sqrt n}$ decrece a 0, así que converge por Leibniz. Pero $\sum\frac{1}{\sqrt n}$ diverge ($p = \frac12$): convergencia **condicional**.
>
> $\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$: converge **absolutamente**.

## Errores frecuentes

* **Creer que $a_n \to 0$ asegura la convergencia.** Es necesario, no suficiente.
* **Concluir con $L = 1$** en el cociente o la raíz. Ahí el criterio no dice nada.
* **Confundir la sucesión con la serie.** $\frac1n \to 0$ (la sucesión converge), pero $\sum\frac1n$ diverge.
* **Aplicar Leibniz sin comprobar que $b_n$ decrece.**
* **Empezar la geométrica en el índice equivocado.** $\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}$, pero $\sum_{n=1}^\infty r^n = \frac{r}{1-r}$.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Cómo puede una suma infinita dar un número finito?
>
> Porque los términos se hacen pequeños lo bastante deprisa. Es la paradoja de Aquiles y la tortuga: recorrer la mitad, luego la cuarta parte, luego la octava… da un número infinito de tramos, pero su suma es una distancia finita, $\sum\frac{1}{2^n} = 1$.

> [accordion] ¿Para qué sirven en ingeniería?
>
> Para aproximar funciones con [series de Taylor](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/series-potencias.md) y de [Fourier](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/series-fourier.md), estimar errores al truncar una suma, analizar algoritmos (sumas de costes) y en la [transformada Z](https://apuntes.simulab.es/electronica/senales/transformada-z.md), que es una serie de potencias.

## Temas relacionados

> [card] [Límites paso a paso](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/limites.md)
>
> Indeterminaciones y cómo resolverlas.

> [card] [Series de potencias](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/series-potencias.md)
>
> Series con una variable x.

> [card] [Interés simple y compuesto](https://apuntes.simulab.es/matematicas/proporcionalidad/interes.md)
>
> El número e y la capitalización continua.


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